公交车上乘客摔倒的责任承担，主要取决于摔倒的具体原因。以下是对此问题的详细分析：
一. 公交公司承担责任的情形
公交司机操作不当：若公交司机在起步时操作不当，如猛踩油门或未确保乘客站稳扶好就启动车辆，导致乘客摔倒，根据《民法典》第一千一百九十一条，公交公司作为用人单位，需对司机的职务行为造成的损害承担赔偿责任。
公交车设施存在问题：若公交车的座椅、扶手等设施存在安全隐患，如松动或损坏，导致乘客在起步时因抓扶不稳而摔倒，公交公司因未履行车辆设施的维护和管理义务而需承担责任。
未尽安全提示义务：公交公司有义务通过广播、标识等方式向乘客进行安全提示。若公交公司在车辆起步时未履行此义务，如未提醒乘客站稳扶好，导致乘客摔倒，公交公司也需承担一定责任。
二. 乘客自身承担责任的情形
若乘客在公交车起步时存在重大过失或故意行为，如站立不稳、未抓扶扶手、在车厢内走动等，导致摔倒，则乘客需自行承担责任。
三. 总结
综上所述，公交车刚起步时乘客摔倒的责任归属，需综合考虑摔倒的具体原因、公交公司的行为及过错程度以及乘客自身的行为。若因公交司机操作不当、公交车设施问题或公交公司未尽安全提示义务导致乘客摔倒，公交公司应承担相应责任；若因乘客自身重大过失或故意行为导致摔倒，则由乘客自行承担责任。在实际操作中，建议受伤乘客及时收集证据，并咨询律师以明确责任主体及赔偿事宜。
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