关于一家单位持有另一家单位10%股份后，共同参与同一个项目投标是否构成围串标的问题，不能一概而论，需要分情况讨论：
若两单位存在围串标行为，则构成违法：
- 根据《中华人民共和国招标投标法》的相关规定，投标人不得相互串通投标报价，不得排挤其他投标人的公平竞争，损害招标人或者其他投标人的合法权益。如果两家单位虽然股权上有一定联系（如一家持有另一家10%的股份），但在投标过程中存在相互串通、操纵投标价格、排挤其他投标人等行为，那么这种行为就构成了围串标，是违法的。
- 举例来说，如果这两家单位在投标前就私下协商好，由其中一家单位中标，另一家单位则通过其他方式获得补偿，或者两家单位在投标文件中故意设置相同的错误或漏洞，以便在评标过程中被同时淘汰或选中，这些行为都属于围串标。
若两单位正常参与投标，则不构成违法：
- 如果两家单位虽然存在股权上的联系，但在投标过程中都是独立、公平地参与竞争，没有相互串通或操纵投标价格等行为，那么它们共同参与同一个项目的投标就不构成围串标。
- 在这种情况下，即使一家单位持有另一家单位10%的股份，也不会影响投标的公平性和竞争性。因为股权联系本身并不等同于串通投标，关键在于投标过程中的行为是否合法、公平。
法律建议：
- 对于涉及股权联系的公司共同参与投标的情况，建议各公司在投标前明确各自的投标策略和立场，避免出现任何形式的串通或操纵投标价格的行为。
- 同时，各公司也应该加强内部管理，确保投标过程的透明度和公平性，防止因为内部管理不善而导致围串标行为的发生。
- 如果在投标过程中发现任何可疑的串通或操纵投标价格的行为，应该及时向招标人或相关监管部门报告。
可能的法律后果：
- 如果被证实存在围串标行为，那么参与围串标的公司可能会面临罚款、没收违法所得、取消投标资格等行政处罚。
- 在严重的情况下，如果围串标行为构成了犯罪，那么相关责任人员还可能会面临刑事处罚。
因此，对于一家单位持有另一家单位10%股份后共同参与同一个项目投标的情况，是否构成围串标取决于投标过程中的具体行为。如果有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。