当商家赠送的商品存在质量问题时，消费者完全有权要求商家进行赔偿或解决质量问题。这一权利受到《中华人民共和国消费者权益保护法》和《中华人民共和国民法典》等相关法律法规的明确保护。下面我将从不同角度为您详细分析：

一、法律依据

1. 《中华人民共和国消费者权益保护法》：

   • 该法明确规定，商家提供的所有商品（包括赠品）都应符合保障人身、财产安全的要求，并具备应有的质量、性能、用途和有效期限。若赠品存在质量问题，商家构成违约，需承担更换、修理或赔偿等违约责任。若因赠品质量问题导致消费者人身伤害或财产损失，商家还需承担侵权责任，赔偿因此产生的费用。

2. 《中华人民共和国民法典》：

   • 根据民法典中关于赠与的规定，购买商品时获得的赠品被视为附义务的赠与。若赠品有瑕疵，赠与人在附义务的限度内需承担与出卖人相同的责任。若商家故意隐瞒赠品的瑕疵或保证无瑕疵但实际上有瑕疵，造成消费者损失的，需承担赔偿责任。

二、消费者的权利与维权途径

• 权利：

  • 消费者在购买商品时，若赠品存在质量问题，有权要求商家进行更换、修理或赔偿。
  • 若因赠品质量问题导致人身伤害或财产损失，消费者还有权要求商家赔偿相关费用，如医疗费、误工费、财产损失费等。

• 维权途径：

  1. 协商：首先尝试与商家协商解决，明确表达您的诉求和依据。
  2. 投诉：若协商无果，可以向消费者协会或相关行政部门投诉，提供赠品质量问题的证据和您的诉求。
  3. 仲裁/诉讼：若投诉仍未得到解决，消费者可以申请仲裁或提起诉讼来维护自身合法权益。在仲裁或诉讼过程中，您需要提供充分的证据来支持您的诉求。

三、实际应用中的建议

1. 保留证据：

   • 消费者应保留好购物凭证（如发票、收据等）和赠品的质量问题证据（如照片、视频等）。这些证据在后续维权过程中将起到关键作用。

2. 及时沟通：

   • 在发现赠品质量问题后，及时与商家沟通并提出合理的赔偿要求。明确表达您的诉求和依据，以便商家能够尽快理解并处理您的问题。

3. 依法维权：

   • 若商家拒绝承担责任，消费者可以依据上述法律法规通过合法途径维权。不要因为商家是“赠送”商品就放弃自己的合法权益。

作为高嘉航律师，我建议您在遇到类似问题时，首先要保持冷静，明确自己的权益和诉求。然后，按照上述途径依法维权，确保自己的合法权益得到保障。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。