结论：在“买二送一”的促销活动中，若其中一个产品存在质量问题，商家应承担相应的法律责任，包括但不限于更换、退货、赔偿等。具体处理方式需根据产品问题的严重性、消费者选择及法律规定来确定。

详细分析：

1. 商家的基本责任：

   • 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，商家提供的商品应当符合质量要求。若商品存在质量问题，商家有义务承担修理、更换、退货等责任。
   • 在“买二送一”的促销活动中，赠品同样被视为商品的一部分，因此赠品若存在质量问题，商家也应承担相应的责任。

2. 具体处理方式：

   • 更换：若消费者选择更换，商家应提供相同或相似的合格产品作为替换。在“买二送一”的情况下，若问题产品是购买的产品之一，商家应更换该产品；若问题产品是赠品，商家可以提供新的赠品或协商其他解决方案。
   • 退货：若消费者选择退货，商家应退还消费者支付的全部价款（对于购买的产品部分）。对于赠品，由于消费者并未直接支付价款，但考虑到赠品的价值已包含在购买产品的总价中，商家可以与消费者协商退货时的具体处理方式，如是否要求消费者退回赠品或扣除赠品价值等。但通常，为了维护消费者权益和商家声誉，商家可能会选择不要求退回赠品或仅要求退回问题赠品。
   • 赔偿：若产品问题给消费者造成了损失（如人身伤害、财产损失等），商家还应承担相应的赔偿责任。赔偿范围应包括直接损失和合理的间接损失。

3. 消费者选择的影响：

   • 消费者有权选择更换、退货或要求赔偿。商家应尊重消费者的选择，并按照消费者的要求进行处理。
   • 若消费者未明确选择，商家可以主动提出解决方案，并与消费者协商达成一致。

4. 法律后果：

   • 若商家拒绝承担责任或处理不当，消费者可以向消费者协会投诉或向法院提起诉讼，要求商家承担相应的法律责任。
   • 商家还可能面临行政处罚，如罚款、没收违法所得等，具体取决于产品问题的严重性和相关法律法规的规定。

建议：

• 商家在开展促销活动时，应确保所有商品（包括赠品）均符合质量要求，以避免因产品质量问题而引发的法律纠纷。
• 一旦发现产品存在质量问题，商家应立即采取措施，如停止销售、召回问题产品等，以防止问题扩大。
• 商家应积极与消费者沟通，了解消费者的需求和诉求，并尽快提出合理的解决方案，以维护消费者权益和商家声誉。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。