针对交通部门发现一辆在公路上行驶且车上驾驶员属疲劳驾驶的情况，我会按照以下流程进行处理：
一、判断与识别疲劳驾驶
首先，我们需要通过多种方式综合判断驾驶员是否存在疲劳驾驶。这包括但不限于：
- 观察驾驶员状态：留意驾驶员是否频繁打哈欠、眼神呆滞或反应迟钝等疲劳表现。
- 询问驾驶时间：向驾驶员了解其从何时开始驾车、中途是否有休息以及休息了多长时间。
- 查看车辆行驶记录：通过行车记录仪或高速公路收费站的通行记录，了解车辆的行驶时间和路线，判断是否存在长时间连续驾驶的情况。
二、立即采取措施
一旦确认驾驶员存在疲劳驾驶，我们会立即采取以下措施：
- 要求停车休息：示意驾驶员靠边停车，并要求其在安全地点进行充分休息，以确保身体和精神状态恢复正常后再上路行驶。
- 防止继续驾驶：在驾驶员休息期间，我们会确保车辆不会再次上路，以防止因疲劳驾驶而引发交通事故。
三、根据情节轻重给予处罚
根据疲劳驾驶的情节轻重，我们会依法对驾驶员进行相应处罚：
- 轻微情节：对于初次被发现且情节较轻的疲劳驾驶行为，如驾驶员只是稍微超出规定的驾驶时间但精神状态尚可，且没有造成其他严重后果，我们会给予警告教育处理，并告知疲劳驾驶的危害。
- 一般情节：若疲劳驾驶行为较为明显，如驾驶员已表现出一定程度的困倦或反应迟钝，但未引发交通事故等其他严重后果，我们将依法对驾驶员处以罚款和记分的处罚。具体罚款金额和记分分值将依据相关规定执行。
- 严重情节：如果疲劳驾驶导致发生交通事故，且事故责任认定中疲劳驾驶是主要原因之一，那么驾驶员将面临更为严厉的处罚。除了承担相应的民事赔偿责任外，还可能面临刑事处罚，如交通肇事罪等。
四、后续措施与宣传教育
在处理完疲劳驾驶事件后，我们还会采取以下后续措施：
- 强制休息：确保驾驶员在充分休息后才能继续上路行驶，以防止类似行为再次发生。
- 宣传教育：向驾驶员宣传疲劳驾驶的危害以及相关法律法规知识，提高其交通安全意识。同时，我们也会通过多种渠道向广大驾驶员普及合理安排行车时间和休息时间的重要性。
五、法律依据
我们的处理流程严格依据相关法律法规进行，包括但不限于《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》、《道路交通安全违法行为记分管理办法》以及《中华人民共和国道路交通安全法》等。这些法律法规为我们提供了明确的执法依据和处罚标准。
综上所述，针对疲劳驾驶这一严重的交通违法行为，我们会采取严格的执法措施，并根据具体情况对驾驶员进行相应处理。同时，我们也呼吁广大驾驶员自觉遵守交通法规，合理安排行车和休息时间，共同营造一个安全、有序的道路交通环境。