业主私自改厨房下水管道，综合执法部门（城管）是有权进行管理的，但并非唯一管理主体。具体分析如下：

1. 综合执法部门（城管）的职责：

   • 城管部门负责查处城市规划区内违反城市管理法规的行为。若业主私自改造厨房下水管道，影响了公共安全或破坏了城市排水系统规划，那么这一行为就落入了城管部门的管理范畴。城管部门有权责令业主进行整改，并依法进行处罚。

2. 物业的管理职责：

   • 小区物业对小区内公共设施和业主的装修改造行为负有监督管理职责。如果业主私自改造厨房下水管道，物业可以依据物业服务合同和小区管理规定，要求业主停止私自改造行为，并恢复原状。若业主拒不配合，物业还有权采取进一步措施，如限制其相关物业服务等。

3. 房地产行政主管部门的监管：

   • 各地的住房和城乡建设局等房地产行政主管部门，也负责管理住宅室内装饰装修活动。私自改下水管道属于违规装修行为，该部门同样可以进行监管和执法，督促业主纠正违规行为。

4. 市政管理部门的介入：

   • 市政管理部门负责城市公共排水设施的管理和维护。如果业主私自改造厨房下水管道，影响到了城市公共排水系统的正常运行，那么市政管理部门也有权介入处理，并要求业主恢复原状，以保障排水系统的正常工作。

法律后果与建议：

• 业主私自改造厨房下水管道，不仅可能影响管道的正常运行，造成排水不畅、污水倒灌等问题，还可能对周边居民的生活环境和安全造成威胁。根据相关法律法规，擅自改动公共设施设备还可能构成违法行为，需承担相应的法律责任。
• 在发现此类问题时，建议先尝试与当事人沟通协商。若沟通无果，可向物业、城市管理综合执法部门（城管）、房地产行政主管部门以及市政管理部门等反映和投诉，以维护自身及公共的合法权益。

如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。