行政处罚法赋予乡镇执法权以乡镇（街道）的名义行使。具体分析如下：

一. 执法权的赋予与名义

• 根据吉林省人民政府关于赋予乡镇人民政府、街道办事处部分行政处罚权的决定（吉政发〔2023〕5号），省政府决定将基层能够有效承接的部分县级人民政府部门的行政处罚权交由乡镇人民政府和街道办事处行使。
• 明确指出，行政处罚权交由乡镇（街道）行使后，由乡镇（街道）以自身的名义开展综合行政执法工作。

二. 执法权的实施与监督

• 乡镇（街道）在依法实施与相对集中行政处罚权有关的行政检查和行政强制措施时，需接受县级人民政府及有关行政执法部门的监督指导。
• 县级人民政府应当根据法律、法规、规章的变化和乡镇（街道）的实际承接能力，对综合行政执法事项清单定期组织评估，并适时进行调整。

三. 实际操作的例子

• 以吉林省为例，该决定明确了乡镇（街道）将以自己的名义开展执法工作，这意味着在吉林省内，乡镇（街道）在行使被赋予的行政处罚权时，将直接以其名义进行，而非县级政府或其他部门的名义。

综上所述，行政处罚法赋予乡镇执法权后，乡镇（街道）将以自己的名义行使这些执法权，并接受相关部门的监督指导。如有进一步需要，您可以继续咨询我。