当公司的法定代表人死亡后，关于公司诉讼实体程序如何完成，以下是一个清晰、详细且有深度的解答：
一、公司诉讼实体地位不变
首先，要明确的是，公司的法定代表人死亡，并不影响公司作为独立法律实体的地位。公司仍然可以作为诉讼的主体，继续参与或发起诉讼。诉讼的对象应当是公司本身，而非已故的法定代表人。
二、诉讼程序继续进行
准备诉讼材料：
- 原告需要按照法定程序，准备好相关的诉讼材料。这些材料应包括但不限于起诉状、证据清单、证据材料（如合同、交易记录、通信记录等）以及公司法定代表人死亡的公证文件等。
- 诉讼材料应确保真实、合法、有效，并足以支持原告的诉讼请求。
递交起诉状：
- 原告需将起诉状及相关证据材料递交至有管辖权的法院。
- 法院在受理案件后，会依法进行审理，并根据案件的具体情况作出相应的判决。
参与诉讼过程：
- 在诉讼过程中，原告应积极配合法院的审理工作，按时出庭、提交证据、进行辩论等。
- 同时，原告也应注意保留好相关的证据材料，并按照规定的时间向法院提交。
三、公司法人变更手续
虽然公司法定代表人死亡不影响公司的诉讼地位，但为了公司的正常运营和管理，公司需要尽快完成法人变更手续。具体步骤如下：
准备申请材料：
- 包括《企业法人变更登记申请书》、《指定代表或者共同委托代理人的证明》及指定代表或委托代理人的身份证复印件、新任法定代表人的任职证明等。
- 任职证明应依照企业章程的规定明确任命职务，并可能需要主管部门（出资人）的批准或确认。
递交申请材料：
- 将准备好的申请材料递交给当地工商行政管理部门进行审查。
- 审查过程中，工商行政管理部门可能会要求补充或修改部分材料。
领取新营业执照：
- 审查通过后，工商行政管理部门会颁发新的营业执照，并注销原法人的相关登记信息。
- 公司应妥善保管新营业执照，并及时更新相关证照和文件。
通知相关部门和机构：
- 公司还需要将变更情况告知其他相关部门和机构，如税务部门、银行、客户等。
- 这有助于确保公司在与外部机构进行业务往来时，能够保持信息的准确性和一致性。
四、注意事项
- 及时性：公司应尽快完成法人变更手续，以避免因法定代表人空缺而影响公司的正常经营和运营。
- 合规性：在办理法人变更手续时，公司应严格遵守相关的法律规定和程序要求，确保变更手续的合法性和有效性。
- 沟通协作：在诉讼过程中，公司应与法院、原告、被告等各方保持沟通协作，共同推动案件的顺利审理。
综上所述，当公司的法定代表人死亡后，公司应继续作为独立法律实体参与诉讼，并尽快完成法人变更手续以确保公司的正常运营。同时，公司应遵守相关法律规定和程序要求，确保诉讼和变更手续的合法性和有效性。