关键公司承担连带责任的法律依据主要包括以下几个方面：

1. 一人公司人格否认时的连带责任：

   • 情形：若一人有限责任公司的股东不能证明公司财产独立于其个人财产，则应对公司债务承担连带责任。
   • 法律依据：《中华人民共和国公司法》第六十三条，“一人有限责任公司的股东不能证明公司财产独立于股东自己的财产的，应当对公司债务承担连带责任”。

2. 股东滥用公司法人独立地位和股东有限责任时的连带责任：

   • 情形：公司股东滥用公司法人独立地位和股东有限责任，逃避债务，严重损害公司债权人利益的，应对公司债务承担连带责任。
   • 法律依据：《中华人民共和国公司法》第二十三条第一款，“公司股东滥用公司法人独立地位和股东有限责任，逃避债务，严重损害公司债权人利益的，应当对公司债务承担连带责任”。

3. 股东未履行或未全面履行出资义务时的连带责任：

   • 情形：包括有限责任公司股东未履行或未全面履行出资义务即转让股权，且受让人知情或应知情；以及公司设立时股东未履行或未全面履行出资义务，发起人与该股东需承担连带责任。
   • 法律依据：分别见于《公司法解释（三）》第十八条和第十三条，具体规定了未履行出资义务股东及受让人的连带责任，以及发起人与未履行出资义务股东的连带责任。

4. 公司解散时股东未依法履行清算义务的连带责任：

   • 情形：包括股东未在法定期限内成立清算组开始清算，导致公司财产贬值、流失等；股东怠于履行义务导致无法清算；或股东恶意处置公司财产给债权人造成损失等。
   • 法律依据：《公司法解释（二）》第十八条、第十九条，规定了股东在公司解散时未依法履行清算义务需承担的连带责任。

5. 利用关联关系损害公司利益时的连带责任：

   • 情形：公司的控股股东、实际控制人、董事、监事、高级管理人员利用其关联关系损害公司利益的，需对造成的损失承担连带赔偿责任。
   • 法律依据：《中华人民共和国公司法》第二十一条，明确规定了利用关联关系损害公司利益者的连带责任。

综上所述，关键公司承担连带责任的法律依据主要涉及公司人格否认、股东出资义务、公司清算义务、关联关系损害公司利益等多个方面。在实际应用中，应根据具体情形准确判断并依法追究相关人员的连带责任。如有进一步需要，您可以继续咨询我。