结论：在老公与小三断绝不正当关系后，您能否起诉对方取决于具体情况，包括老公在婚姻存续期间的行为性质、是否涉及重婚、虐待、遗弃等过错，以及是否存在财产权益受损或精神损害等情形。以下从不同角度为您详细分析：
一、若老公在婚姻存续期间存在重婚、虐待、遗弃等过错
重婚行为：
- 若老公与小三以夫妻名义共同生活，构成重婚罪，您不仅可以向法院提起刑事自诉追究其刑事责任，还可以在离婚诉讼中主张损害赔偿等权益。
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第二百五十八条，有配偶而重婚的，或者明知他人有配偶而与之结婚的，处二年以下有期徒刑或者拘役。同时，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，因重婚导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿。
虐待、遗弃行为：
- 若老公在婚姻存续期间对您实施虐待或遗弃行为，您同样可以起诉要求离婚，并在离婚诉讼中主张损害赔偿。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，实施家庭暴力或虐待、遗弃家庭成员导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿。
二、若老公单纯出轨致感情破裂
诉讼离婚：
- 若老公单纯出轨导致感情破裂，且双方无法协议离婚，您可以通过诉讼离婚解决。但单纯以出轨为由起诉要求赔偿，可能不被法院支持。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，夫妻一方要求离婚的，可以由有关组织进行调解或者直接向人民法院提起离婚诉讼。人民法院审理离婚案件，应当进行调解；如果感情确已破裂，调解无效的，应当准予离婚。但单纯出轨并不直接构成法院判决离婚的法定理由，除非出轨行为导致感情彻底破裂且无和好可能。
损害赔偿主张：
- 在诉讼离婚过程中，若您能证明老公的出轨行为给您造成了精神损害，您可以尝试主张精神损害赔偿，但法院是否支持需根据具体证据和情况判断。
三、若存在财产权益受损情形
夫妻共同财产赠与：
- 若老公在与小三交往期间，未经您同意将夫妻共同财产赠与小三，您作为财产共有人，有权以侵犯其财产权为由起诉小三，要求返还相应财产。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，夫妻对共同财产有平等的处理权。一方擅自处分重大共同财产，侵犯了另一方的财产权益，另一方有权要求返还。
其他财产损失：
- 若因老公与小三的关系导致您遭受其他财产损失，如为处理此事产生的合理费用等，您也可以尝试通过法律途径要求赔偿。
四、若存在精神损害情形
- 若您因老公与小三的关系遭受了极大精神伤害，如长期抑郁、焦虑等，且能提供充分证据证明这种伤害与老公的行为存在直接因果关系，您或许能主张精神损害赔偿。但法院是否支持需根据具体证据和情况判断，且精神损害赔偿的数额通常较低。
法律建议
- 收集证据：无论您选择哪种途径维权，收集充分证据都是关键。包括但不限于老公与小三的通信记录、照片、视频、证人证言等。
- 咨询专业律师：虽然我作为常虎律师可以为您提供专业咨询，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，在采取行动前，建议您咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
- 保持冷静和理性：面对婚姻危机，保持冷静和理性至关重要。避免采取过激行为导致事态恶化或影响自身权益。