农村破坏绿地的行为应由县级以上人民政府林业主管部门进行管理和处罚，同时可能涉及自然资源等部门的协同管理。
详细分析如下：
一、主要职责部门
- 林业主管部门的职责：根据《中华人民共和国森林法》第七十四条的规定，对于违反规定进行开垦、采石、采砂、采土或其他活动，造成林木或林地毁坏的，由县级以上人民政府林业主管部门负责责令停止违法行为，并依法进行处罚。这一规定同样适用于农村地区的绿地破坏行为，林业主管部门是主要的监管和处罚部门。
二、协同管理部门
- 自然资源部门的参与：在实际管理中，破坏绿地行为可能涉及土地资源的非法占用或改变土地用途，这时自然资源部门也会参与管理。特别是当破坏行为涉及农村集体土地时，自然资源部门将协同林业主管部门共同处理，以确保土地资源的合理利用和生态保护。
综上所述，农村破坏绿地的行为主要由县级以上人民政府林业主管部门负责管理和处罚，同时根据具体情况，可能会涉及自然资源等部门的协同配合。这样的管理机制有助于确保农村绿地的有效保护和合理利用，维护生态平衡和土地管理秩序。如有进一步需要，您可以继续咨询我。