针对您提出的“保姆照顾宝宝半夜摔下床了应该请哪个部门来调解”的问题，核心前提是保姆在提供服务过程中发生了意外事件，导致宝宝受伤，您希望了解如何通过调解解决此事。以下是具体分析和建议：

1. 优先与保姆或家政公司协商
   若保姆是通过家政公司派遣的，您可先与家政公司沟通，要求其介入处理。根据《家庭服务业管理暂行办法》，家政公司对保姆的服务质量负有管理责任，可要求其协助调解或承担部分责任。若保姆是个人雇佣，可直接与保姆协商赔偿或改进措施。

2. 向社区或街道调解组织申请调解
   若协商无果，可联系所在社区的“人民调解委员会”或街道“司法所”申请调解。这些机构属于基层群众性自治组织，专门处理民间纠纷，调解过程免费且具有法律效力。调解协议经双方签字后，可申请法院司法确认，增强执行力。

3. 向消费者协会投诉（如涉及家政服务合同）
   若您与家政公司签订了服务合同，且保姆的行为构成违约或服务不达标，可向当地“消费者协会”投诉。消协会根据《消费者权益保护法》介入调解，要求家政公司承担违约责任，如退还部分费用或赔偿损失。

4. 向劳动监察部门投诉（如涉及保姆劳动权益）
   若保姆认为自身权益受损（如超时工作、未签合同等），可向“劳动监察大队”投诉。但需注意，此途径主要保护保姆权益，若您作为雇主被投诉，可能需配合调查。

5. 通过法院诉讼解决（调解失败后的最终途径）
   若上述途径均无法达成一致，可向法院提起民事诉讼，要求保姆或家政公司赔偿宝宝因摔伤产生的医疗费、护理费等损失。诉讼需准备证据（如监控录像、医疗记录、合同等），建议提前咨询律师整理材料。

温馨提示：调解前建议固定证据（如拍照、录像、保存医疗单据），并明确责任划分（如保姆是否尽到注意义务、家政公司是否培训到位）。若需进一步分析责任比例或调解策略，可直接向我提问，我会结合具体案情提供详细建议。