继嗣子和承嗣子在法律上并没有明确的区别，这两个概念并非法律术语，而是可能在特定文化或语境下使用的词汇。在法律上，我们更常使用的是“继子”和“养子”等概念，它们有明确的法律定义和相应的权利义务。

一. 继子

• 法律定义：继子通常指的是妻子与前夫或丈夫与前妻所生之子，以及丈夫或妻子过世后，另一方与其前妻或前夫所生之子，且该子女为前妻或前夫所抚养，与现配偶形成抚养关系的子女。
• 权利义务：继子与继父母之间形成抚养关系的，继子享有与婚生子女同等的权利义务，包括继承权等。

二. 养子

• 法律定义：养子是指通过收养关系确立的父母子女关系中的子女。

• 权利义务：养子与养父母之间的权利义务关系，适用法律关于父母子女关系的规定。养子享有与婚生子女、非婚生子女同等的权利义务，包括继承权等。

• 例如，如果某人在配偶过世后，与配偶的前子女形成了抚养关系，那么这些子女在法律上就可以被视为继子，享有相应的权利义务。

由于“继嗣子”和“承嗣子”并非法律术语，因此在法律上并没有明确的区别和定义。如果您在特定语境或文化背景下需要使用这两个词汇，并希望了解它们在该语境下的具体含义和区别，建议您咨询相关领域的专家或学者。如有进一步需要，您可以继续咨询我。