针对您提出的“工伤认定部门不受理工伤认定，也不出具工伤认定决定书该怎么办”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，我们需要明确的是，根据《工伤保险条例》及相关规定，受伤职工或其近亲属在符合一定条件下，有权向社会保险行政部门申请工伤认定。若社会保险行政部门（如您所述的工伤认定部门）不受理您的工伤认定申请，并且未出具《工伤认定申请不予受理决定书》或其他书面说明，这确实是一个需要关注的问题。

一、了解不受理的可能原因

1. 材料不完整：根据规定，申请工伤认定需要提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系的证明材料以及医疗诊断证明。若您提交的材料不完整，社会保险行政部门可能会要求您补正材料。但在此情况下，他们应当一次性书面告知您需要补正的全部材料。

2. 劳动关系争议：如您所述案例中，若社会保险行政部门以您与用人单位已不存在劳动关系为由不受理申请，这可能涉及对劳动关系的认定问题。但请注意，申请工伤认定时并不一定要求申请之时与用人单位仍然存在劳动关系，特别是当用人单位涉嫌违法解除劳动合同时。

3. 其他法定不受理情形：如申请超过法定时限等。

二、应对措施

1. 要求书面说明：

   • 若工伤认定部门未出具任何书面决定，您有权要求他们出具《工伤认定申请不予受理决定书》或其他书面说明，明确不受理的原因。

2. 补正材料（如适用）：

   • 若因材料不完整而不受理，您应按照社会保险行政部门的要求，一次性补正所有需要的材料。

3. 申请行政复议：

   • 根据《工伤保险条例》第五十五条第(一)项及新修订的《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，若您对工伤认定申请不予受理的决定不服，可以依法向区人民政府或市人力资源和社会保障局申请行政复议。行政复议是解决行政争议的一种重要方式，它可以帮助您审查社会保险行政部门的决定是否合法、合理。

4. 提起行政诉讼：

   • 若您对行政复议结果仍不满意，或者未选择行政复议而直接希望寻求司法救济，您可以依法向人民法院提起行政诉讼。

三、注意事项

• 时限问题：请注意申请行政复议和提起行政诉讼的时限。一般来说，行政复议的申请时限为知道该具体行政行为之日起六十日内，而行政诉讼的起诉时限为知道或应当知道作出行政行为之日起六个月内（具体时限可能因地区和具体法规而异，请务必查阅当地相关法规）。

• 证据收集：在申请行政复议或提起行政诉讼前，请确保您已收集并整理好所有相关证据，包括工伤认定申请表、劳动关系证明、医疗诊断证明等。

• 法律咨询：若您对法律程序不熟悉，建议咨询专业律师或法律援助机构，以获取更具体的法律建议和帮助。

综上所述，若工伤认定部门不受理您的工伤认定申请且未出具书面决定，您应首先要求他们出具书面说明，并根据不受理的原因采取相应的应对措施，包括补正材料、申请行政复议或提起行政诉讼。希望这些建议能对您有所帮助。