仲裁书下达后，若一方逾期不履行裁决，另一方需在裁决规定履行期届满后两年内申请执行，否则将丧失申请强制执行的权利。以下是针对该问题的详细分析：
申请执行时效期间：
- 根据相关规定，仲裁书下达后，双方需依裁决自觉履行。若一方逾期不履行，另一方可在裁决规定履行期届满后两年内向法院申请执行。这是申请执行的基本时效规定。
申请执行时效期间的计算方式：
- 申请执行时效期间的计算从法律文书规定履行期的最后一日起开始计算。
- 若裁决书规定分期履行，则从每次履行期的最后一日起分别计算。
- 若裁决书未规定具体的履行期，则从裁决书生效之日起开始计算。
申请执行时效的中止与继续：
- 在申请执行时效期间的最后六个月内，如果因不可抗力或其他障碍导致申请执行人不能行使请求权，申请执行时效期间将中止计算。
- 障碍消除后，申请执行时效期间将继续计算，即从中止时效的原因消除之日起，申请执行时效期间继续计算剩余的六个月。
超过申请执行时效的后果：
- 如果申请执行人超过两年的申请执行时效期间未向法院申请执行，那么被执行人可以提出执行时效抗辩。
- 一旦被执行人提出执行时效抗辩，并且法院认定抗辩成立，那么法院将可能裁定不予执行该仲裁裁决。
综上所述，仲裁后不申请执行的法律时效规定是两年，且该时效期间的计算、中止与继续均有明确的法律规定。因此，建议当事人在获得仲裁裁决后，应及时关注履行情况，并在必要时向法院申请执行，以避免因超过申请执行时效而丧失强制执行的权利。如有进一步需要，您可以继续咨询我。