结论：若欠条中约定每月还一千元但后续未履行还款义务，债权人确实有权起诉。不过，是否会被起诉以及起诉后的结果，需结合具体情况分析。以下从不同角度为您详细阐述：
一、从法律权利角度分析
根据《民事诉讼法》的相关规定，债权人享有起诉权。当债务人未按欠条约定履行还款义务时，债权人可以依法向法院提起诉讼，要求债务人偿还欠款。因此，若您未按欠条约定每月还一千元，债权人完全有权起诉您。
二、从实际执行角度分析
债务总额与还款能力：
- 若债务总额远超过每月一千元的还款能力，且您后续停止还款，债权人很可能会选择起诉以维护自身权益。
- 若债务总额不大，且您之前一直按时还款，只是近期因特殊原因（如临时资金困难）未能按时还款，债权人可能会考虑与您协商延期还款或调整还款计划，而非直接起诉。
还款意愿与沟通情况：
- 若您表现出积极的还款意愿，并与债权人进行了有效沟通，说明未能按时还款的原因，并提出了可行的还款计划，债权人可能会给予一定的宽限期。
- 若您对还款事宜漠不关心，甚至拒绝与债权人沟通，债权人很可能会选择通过法律途径来解决问题。
证据保留情况：
- 无论您是否会被起诉，都建议您妥善保管所有关于还款的相关证据，如欠条、转账记录、聊天记录等。这些证据在可能发生的争议中至关重要，能够证明您的还款情况或债权人的主张是否合理。
三、从起诉流程角度分析
若债权人决定起诉您，起诉流程一般如下：
准备起诉状：
- 起诉状应包括原告（债权人）和被告（您）的身份信息、诉求（如要求偿还欠款及利息）、事实与理由（如欠条约定及您未履行还款义务的情况）等。
递交起诉状：
- 将起诉状递交到被告所在地法院（即您所在地的法院）。
法院受理与缴费：
- 法院受理后，您需要缴纳诉讼费用。诉讼费用的具体金额根据欠款金额和案件性质而定。
法院送达与开庭：
- 法院会向被告送达起诉状副本、开庭通知书等。您需按照开庭时间到庭参加诉讼。
开庭审理与判决：
- 法院会组织双方进行开庭审理，听取双方的陈述和辩论，并依法作出判决。若判决您偿还欠款，您需按照判决履行还款义务。
四、建议与风险提示
积极沟通：
- 建议您尽快与债权人取得联系，说明未能按时还款的原因，并提出可行的还款计划。通过积极沟通，可能避免或延缓法律纠纷的发生。
保留证据：
- 无论沟通结果如何，都请您务必保留好所有关于还款的相关证据。这些证据在可能发生的争议中能够为您的权益提供有力保障。
寻求法律帮助：
- 若您对法律程序不熟悉或担心自身权益受到侵害，可以寻求专业律师的帮助。律师能够为您提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助您更好地应对法律纠纷。
风险提示：
- 若您被起诉并败诉，可能需要承担还款责任及可能的诉讼费用、利息等额外费用。此外，败诉记录还可能对您的信用记录产生不良影响。因此，建议您务必重视还款事宜，避免不必要的法律纠纷。
最后，若您有任何关于债务债权方面的法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会尽我所能为您提供专业、全面的法律服务。