如果对方持有按月还款的欠条却不履行还款义务，你可以通过法律途径起诉来追回欠款。以下是具体的起诉流程和注意事项：
一、准备诉讼材料
起诉状：
- 明确写明原告和被告的基本信息，包括姓名、性别、年龄、住址、联系方式等。
- 明确提出诉讼请求，如要求被告偿还借款本金及按月计算的利息（需明确利息计算方式，如年利率或月利率）。
- 清晰阐述事实与理由，详细说明借款的时间、地点、交付方式、双方关于按月还款的约定及欠款未还等情况。
- 起诉状需一式多份，根据被告人数加一份准备，自己留存一份。
证据材料：
- 核心证据：欠条是关键证据，需确保其内容完整、清晰，有双方签字或盖章，并注明借款金额、用途、按月计算的利息、借款日期、还款时间等信息。提供欠条原件及复印件。
- 辅助证据：收集转账记录（如银行转账凭证、微信或支付宝转账截图）、聊天记录、电话录音等，以证明借款事实和双方按月还款的约定。这些证据同样需提供原件及复印件，并整理成证据清单。
身份证明：原告需提供身份证原件及复印件，以证明自己的诉讼主体资格。
二、确定管辖法院
- 一般原则：民间借贷纠纷可向被告住所地或合同履行地的人民法院提起诉讼。被告住所地指户籍所在地，若经常居住地与户籍所在地不一致，则以经常居住地为准。
- 合同履行地：若双方在欠条中约定了合同履行地，则按约定确定；没有约定的，以接受货币一方所在地为合同履行地。在出借人起诉要求借款人还钱的情况下，出借人所在地法院也有管辖权。
- 特殊约定：如果双方在欠条或借款合同中明确约定了管辖法院，且该约定符合法律规定，则应向约定的法院起诉。
三、立案
- 提交材料：携带准备好的起诉状及证据材料前往有管辖权的法院立案庭，或通过网上立案平台提交。
- 立案审查：法院会对提交的材料进行审查，若材料齐全、符合立案条件，会当场予以立案，并收取诉讼费用。若材料存在问题，需按要求补充或修改后重新提交。
四、等待并参加庭审
- 开庭通知：法院会安排开庭时间，并向原被告送达传票等诉讼文书。
- 庭审准备：在等待开庭的过程中，熟悉案件事实和证据，预测对方可能提出的观点和抗辩理由，准备好相应的回应策略。同时，整理好庭审时需要出示的证据原件。
- 庭审过程：
- 法庭调查：原告陈述诉讼请求和事实理由，被告进行答辩；双方依次举证、质证。
- 法庭辩论：就案件的争议焦点进行辩论，阐述自己的观点和理由，反驳对方的主张。
- 最后陈述：双方当事人作最后陈述，简要总结自己的观点和诉求。
五、判决与执行
- 判决：庭审结束后，法院会根据庭审情况和双方提交的证据进行评议，作出判决。判决书会在一定期限内送达给双方当事人。若对判决结果不服，可在规定期限内向上一级人民法院提起上诉。
- 执行：若被告在判决书规定的履行期限内未自觉履行还款义务，原告可以在期限届满后向法院申请强制执行。申请时需提交强制执行申请书、生效判决书等材料，法院会通过查询、冻结、划拨被告的银行存款，查封、扣押、拍卖被告的财产等措施强制其履行义务。
六、注意事项
- 诉讼时效：向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间通常为三年，从知道或应当知道权利被侵害时起计算。务必在诉讼时效内提起诉讼，诉讼时效的计算公式为：诉讼时效起算日+3年。例如，如果欠条上约定的最后一次还款日期是2020年1月1日，那么诉讼时效起算日就是2020年1月1日，诉讼时效截止日期就是2023年1月1日。
- 合法合规：在起诉过程中，应确保所有行为合法合规，避免采取过激或违法的手段进行追债。
- 按月还款的利息计算：如果欠条中明确约定了按月计算的利息，那么起诉时可以按照约定的利率要求被告支付利息。但需注意，利率不得超过法律规定的上限，即一年期贷款市场报价利率（LPR）的四倍。如果约定的利率超过了这个上限，超过部分将不受法律保护。
在起诉过程中，如果遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。