关于您提出的“法定代表人没有登记备案的效力”这一问题，我们可以从法律的角度进行深入探讨。

首先，我们需要明确的是，法定代表人是代表法人从事民事活动的负责人，其以法人名义进行的民事活动，法律后果由法人承受。这是《中华人民共和国民法典》第六十一条所明确规定的。而法定代表人的登记备案，则是市场主体登记管理的重要一环，它具有公示效力，是社会公众了解法人基本情况、判断法人信用状况的重要依据。

接下来，我们分析法定代表人没有登记备案的效力问题。根据《市场主体登记管理条例》的相关规定，市场主体变更登记事项，应当自作出变更决议、决定或者法定变更事项发生之日起30日内向登记机关申请变更登记。公司登记事项未经登记或者未经变更登记，不得对抗善意相对人。这意味着，如果法定代表人没有进行登记备案，或者变更后没有及时进行变更登记，那么该法定代表人在对外代表法人进行民事活动时，其效力可能会受到质疑。特别是当涉及与善意相对人的交易时，由于相对人基于对公示登记事项的合理信赖而进行的签订合同等行为应当受到法律保护，因此，未经登记备案的法定代表人可能无法有效代表法人进行此类交易，或者其代表行为可能不被法律所认可。

此外，从实际案例来看，如果公司原法定代表人离职后没有及时进行变更登记，那么新任法定代表人在代表公司进行民事活动时可能会遇到诸多障碍。因为相对人可能会基于对原法定代表人的了解而进行交易，而新任法定代表人由于没有进行登记备案，其身份和权利可能会受到质疑。这不仅会影响公司的正常运营，还可能给公司带来法律风险。

因此，为了保障法人的合法权益和市场秩序的稳定，法定代表人应当及时进行登记备案，并在变更后及时进行变更登记。这样不仅可以确保法定代表人的代表行为具有法律效力，还可以提高公司的信用度和市场竞争力。

综上所述，法定代表人没有登记备案的效力是受到质疑的，特别是在涉及与善意相对人的交易时。因此，建议法定代表人及时进行登记备案，并在变更后及时进行变更登记，以确保其代表行为的合法性和有效性。