当私家车与出租车发生刮蹭，并因此产生误工费时，赔偿责任的承担主要依据事故的具体情况以及相关的法律规定来确定。以下是对这一问题的详细解答：

首先，我们需要明确的是，当机动车发生交通事故造成人身伤亡、财产损失时，由保险公司在机动车第三者责任强制保险（即交强险）责任限额范围内予以赔偿。这是《道路交通安全法》第七十六条所明确规定的。因此，在私家车与出租车刮蹭的事故中，如果出租车司机因此产生了误工费，这部分费用首先应由私家车的交强险来承担。

然而，交强险的赔偿限额是有限的。如果误工费等损失超出了交强险的赔偿范围，那么就需要考虑商业险的赔偿。商业险是车主自愿购买的，用于在交强险赔偿不足时提供额外的保障。如果私家车车主购买了商业险，并且商业险的赔偿限额足够覆盖剩余的误工费等损失，那么这部分费用将由商业险来承担。

但是，如果私家车车主没有购买商业险，或者商业险的赔偿限额不足以覆盖剩余的损失，并且私家车车主在事故中负有责任，那么私家车车主就需要自行承担超出交强险和商业险赔偿范围的误工费等损失。

在主张误工费时，出租车司机需要提供相关的收入证明材料，如工资单、纳税证明等，以证明其因事故而实际减少的收入。如果出租车司机从事的是营运性质的工作，那么他还需要准备营运车辆的行驶证、营运许可证以及之前营运收入的相关记录等，以证明其因事故而实际遭受的营运损失。

综上所述，私家车刮蹭出租车不给误工费时，赔偿责任的承担首先看交强险，然后看商业险，最后如果仍有不足，则由私家车车主自行承担。具体赔偿方式和金额需要根据事故的具体情况以及相关的法律规定来确定。