1. 核心结论：公司法定代表人被限制高消费后，其子女原则上不得就读高收费私立学校。这一规定是基于《最高人民法院关于限制被执行人高消费及有关消费的若干规定》中的相关条款，旨在通过限制被执行人的高消费行为，促使其履行生效法律文书确定的义务。

2. 法律背景与解释：

   • 根据该规定，当单位（如公司、企业等）作为被执行人时，其法定代表人会被纳入限制高消费的范围。这一限制不仅影响法定代表人的个人消费行为，还可能间接影响到其家庭成员，特别是子女的教育选择。
   • 规定中明确指出，被限制高消费的人员的子女不得就读高收费私立学校。这是为了防止被执行人通过转移财产或消费至子女教育等方式，规避执行措施。

3. 对用户问题的具体分析：

   • 在您的情况下，由于公司法定代表人被限制高消费，其子女原则上不能就读高收费的私立初中。这一限制是为了确保执行措施的有效性，并促使法定代表人积极履行其法律义务。
   • 需要注意的是，这一限制并不涉及公立学校或低收费的私立学校。因此，如果子女的教育需求可以通过这些途径得到满足，那么他们仍然可以接受正常的教育。

4. 法律建议与后续行动：

   • 如果您或您的公司面临被限制高消费的情况，建议尽快与申请执行人协商，寻求达成执行和解协议或提供确实有效的担保，以解除限制高消费令。
   • 同时，也可以考虑通过纠正失信行为、履行法定义务等方式进行信用修复，以提高个人的信用评级和未来的经济活动能力。
   • 如果您对限制高消费的具体规定或执行措施有疑问，或者需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。

5. 可能的法律后果：

   • 如果法定代表人违反限制高消费规定，可能会面临罚款、拘留等法律制裁；构成犯罪的，还将依法追究刑事责任。
   • 违反规定的行为还将被记录在个人信用记录中，对个人的信用评级和未来的经济活动产生负面影响。

综上所述，公司法定代表人被限制高消费后，其子女原则上不得就读高收费私立学校。这是为了确保执行措施的有效性，并促使法定代表人积极履行其法律义务。如果您或您的公司面临类似情况，建议尽快采取措施解除限制高消费令，并遵守相关法律法规。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。