事业单位因工作调动，新单位工会断档时，应尽快办理工会关系的转移手续。以下是根据相关法律法规和实际操作步骤给出的详细建议：

一. 了解工会关系转移的基本规定

根据《中华人民共和国工会法》以及相关规定，工会会员在劳动关系发生变化后，其工会会员身份及组织关系可以随之转移。新单位若已建立工会组织，会员的工会关系应转入新单位工会组织；若新单位尚未建立，则会员组织关系可暂时保留在原居住地工会组织，待新单位建立工会组织后再进行转移。

二. 办理工会关系转移手续

1. 提出转移申请：会员应向原单位工会组织提出工会关系转移申请，并填写相关表格，如《工会会员组织关系接转申请表》。

2. 原单位审核：原单位工会组织审核会员的申请，确认无误后，在《工会会员证》“组织关系接转”栏目中填写有关内容，并加盖公章。同时，会员的《工会会员登记表》将随个人档案一并移交。

3. 到新单位报到：会员携带加盖公章的《工会会员证》及个人档案到新单位报到，向新单位工会组织出示相关证件，申请加入新单位工会组织。

4. 新单位审核接纳：新单位工会组织对会员的申请进行审核，确认会员身份及组织关系无误后，予以登记接纳，并将会员编入相应的工会小组。

三. 注意事项

• 会员在办理工会关系转移过程中，应确保所填写的信息准确无误，避免因信息错误导致转移失败或延误。
• 若会员在劳动关系变化过程中遇到任何问题或困难，可向原单位或新单位的工会组织寻求帮助和支持。
• 会员应积极参加新单位工会组织的各项活动，履行会员义务，享受会员权利，共同推动工会工作的发展。

我的观点：事业单位因工作调动导致新单位工会断档时，及时办理工会关系的转移手续是关键。这不仅有助于维护会员的合法权益，还能确保会员能够继续享受工会提供的各项服务和福利。如有进一步需要，您可以继续咨询我。