当工厂无故辞退员工时，员工有权依据《中华人民共和国劳动合同法》来主张经济补偿和赔偿金。以下是对此问题的详细解答：
一、赔偿标准
经济补偿金：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。工作六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资计算包括计时工资、计件工资以及奖金、津贴和补贴等货币性收入。若劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资低于当地最低工资标准，则按当地最低工资标准计算。
- 若工作不满12个月，则按照实际工作的月数计算平均工资。
赔偿金：
- 如工厂违法解除劳动合同（如无任何合法理由辞退员工、辞退程序不符合法律规定、违反劳动合同约定等），需依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
其他损失赔偿：
- 若因工厂的无故辞退导致劳动者遭受其他损失（例如失业期间的社保费用、医疗费用等），劳动者有权要求工厂进行相应赔偿。
二、维权步骤
收集证据：
- 证明劳动关系：劳动合同是最直接的证明。若无劳动合同，可提供工资支付凭证（如工资条、银行转账记录）、工作证、考勤记录、同事证言等。
- 被辞退证据：如工厂的辞退通知、与工厂负责人的聊天记录、录音等。
与工厂协商：
- 在收集好证据后，首先尝试与工厂的人力资源部门或负责人沟通协商，指出其无故辞退行为的违法性，并基于法律规定提出赔偿要求。
- 保留好协商过程中的聊天记录、通话录音等，以备后续使用。
申请劳动仲裁：
- 若协商无果，可向当地的劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请。
- 提交仲裁申请书、身份证明、劳动关系证明、被辞退证明等相关材料。
- 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，自当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。
提起诉讼：
- 对仲裁结果不满意者，可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
三、实例分析
例如，小张在某工厂工作了3年零4个月，月平均工资为5000元。若工厂无故将其辞退，这属于违法解除劳动合同。小张可获得的经济补偿金为3.5×5000=17500元，赔偿金则为17500×2=35000元。
四、法律建议
- 在处理此类劳动纠纷时，建议劳动者保留所有相关证据，如劳动合同、工资单、辞退通知、通信记录等，这些都是维权过程中的关键证据。
- 积极与工厂沟通协商，尝试达成和解；若不成，则及时通过法律途径维护自己的合法权益。
- 如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。