针对您提出的“合同双方未约定付款期限”这一问题，以下是我的详细解答：
一、付款期限的确定方式
双方协商补充约定：
- 根据《民法典》的相关规定，合同生效后，对于未约定或约定不明确的内容，当事人可以协议补充。因此，当合同未约定付款期限时，双方应首先尝试通过协商达成补充协议，明确付款时间。
按照交易习惯或合同相关条款确定：
- 若协商不成，可依据合同的其他相关条款或行业交易习惯来确定付款期限。例如，某些行业可能存在货物交付后一定天数内付款的惯例，若双方未排除此类惯例，则可据此执行。
随时履行与催告：
- 若仍无法确定付款期限，根据《民法典》的规定，债务人可随时履行，债权人也可随时请求履行，但需给予对方必要的准备时间。这意味着，债权人可以在合理期限内随时要求债务人付款，但需给予债务人一定的准备时间。
二、违约责任的承担
逾期付款利息：
- 一旦债权人依法要求债务人在合理期限内付款而债务人未履行，即构成逾期付款。此时，债务人需承担支付逾期利息的责任，逾期利息的计算可基于相关法律解释和标准。
其他违约责任：
- 除逾期利息外，债务人还需承担因逾期付款给债权人造成的其他损失，如追讨欠款产生的合理费用（律师费、诉讼费等）。
三、诉讼时效问题
诉讼时效的起算：
- 对于未约定付款期限的合同，诉讼时效自债权人向债务人主张权利且给予的合理准备时间届满后开始计算。这意味着，债权人需在合理期限内主张权利，否则可能面临诉讼时效过期的问题。
诉讼时效中断：
- 在诉讼时效期间内，若债权人向债务人提出履行请求、债务人同意履行义务或债权人提起诉讼、申请仲裁等，将导致诉讼时效中断，并重新计算。
四、法律建议
明确合同条款：
- 为避免类似纠纷，建议在订立合同时明确各项关键条款，特别是付款期限。若合同订立时未能明确，应及时通过补充协议等方式进行补正。
保持沟通：
- 在合同履行过程中，双方应保持沟通，对付款时间等分歧及时以书面形式明确，以避免后续纠纷。
及时主张权利：
- 若债务人逾期未付款，债权人应及时主张权利，避免诉讼时效过期。同时，可考虑通过法律途径解决纠纷，如提起诉讼或申请仲裁。
综上所述，当合同双方未约定付款期限时，双方应遵循相关法律法规，通过协商、交易习惯或法律规定的方式确定付款期限，并在合理范围内行使权利、履行义务。如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。