针对您提出的美容美发投诉归哪个部门管以及法律依据是什么的问题，以下是我的详细解答：
一、投诉管理部门
在中华人民共和国境内，美容美发行业的投诉主要由各级商务主管部门负责管理和协调。具体来说，商务部主管全国美容美发业工作，而各级商务主管部门则在本行政区域内对美容美发业进行指导、协调、监督和管理。因此，如果您遇到美容美发方面的投诉问题，可以向当地的商务主管部门进行反映和投诉。
二、法律依据
美容美发行业的投诉管理主要依据《美容美发业管理暂行办法》。该办法由中华人民共和国商务部于2004年9月23日审议通过，并自2005年1月1日起实施。该办法旨在促进美容美发业的健康发展，规范美容美发服务行为，维护美容美发经营者和消费者的合法权益。
在《美容美发业管理暂行办法》中，明确规定了商务主管部门对美容美发业的监督和管理职责，以及美容美发经营者的基本条件、服务项目范围、专业技术条件、服务规范、质量标准和操作规程等方面的要求。同时，该办法还规定了美容美发经营者在提供服务时应当遵守的规定，如明示营业执照、卫生许可证、服务项目和收费标准等，以及不得欺骗和误导消费者等。
对于违反《美容美发业管理暂行办法》的美容美发经营者，各级商务主管部门可以予以警告，令其限期改正；必要时，可以向社会公告。对依据有关法律、法规应予以处罚的，各级商务主管部门还可以提请有关部门依法处罚。
三、投诉流程
当您遇到美容美发方面的投诉问题时，可以按照以下流程进行：
收集证据：首先，您需要收集与投诉问题相关的证据，如消费凭证、服务单据、照片或视频等。
联系商家：尝试与商家进行沟通，说明您的问题和诉求，看是否能够协商解决。
向商务主管部门投诉：如果与商家沟通无果，您可以向当地的商务主管部门进行投诉。投诉时，需要提供详细的投诉内容、证据以及您的联系方式等信息。
等待处理结果：商务主管部门在收到您的投诉后，会进行调查和处理。您需要耐心等待处理结果，并配合商务主管部门的调查工作。
寻求其他途径：如果对商务主管部门的处理结果不满意，您还可以考虑通过其他途径进行维权，如向消费者协会投诉、向法院提起诉讼等。
综上所述，美容美发投诉归各级商务主管部门管，法律依据是《美容美发业管理暂行办法》。在投诉时，您需要收集证据、联系商家、向商务主管部门投诉，并等待处理结果。希望这些信息能够对您有所帮助。