父亲去世后，母亲名下的银行存款是否算遗产，需要分情况讨论：

1. 若母亲名下的银行存款属于母亲个人财产：

   • 在这种情况下，母亲名下的银行存款自然属于母亲的遗产。当母亲去世后，这些存款将按照《中华人民共和国民法典》中关于遗产继承的规定进行分配。
   • 遗产的分配原则包括遗嘱优先和法定继承。如果母亲生前立有合法有效的遗嘱，存款将按照遗嘱指定的方式进行分配；若无遗嘱或遗嘱无效，则按照法定继承的顺序进行分配，法定继承人包括配偶、子女、父母等。

2. 若母亲名下的银行存款属于夫妻共同财产：

   • 在这种情况下，需要先析出属于父亲个人的部分（若父亲先于母亲去世，且未对财产进行特别约定或处理），该部分才作为父亲的遗产进行处理（但此部分与问题直接询问的“母亲名下银行存款”是否算遗产不直接相关，因为问题关注的是母亲去世后的财产）。然而，就母亲去世后的银行存款而言，若其中包含夫妻共同财产中母亲的部分，则这部分属于母亲的遗产。
   • 具体来说，如果母亲名下的银行存款是夫妻共同财产，且母亲去世，那么首先需要确定夫妻共同财产中母亲所占的份额（通常为一半，除非有特别约定）。这部分份额将作为母亲的遗产进行分配。

3. 特殊情况处理：

   • 如果母亲名下的银行存款与他人共有（如与子女共有），则需先析出属于母亲个人的部分，该部分才作为遗产进行处理。
   • 若存款关联了特定的理财产品或账户，并明确指定了受益人，则该部分财产不属于遗产，而是直接归受益人所有。但这种情况通常不涉及“母亲名下银行存款”的直接继承问题，除非受益人指定为母亲本人且母亲去世后该部分财产未被处理。

法律建议：

• 在处理母亲去世后的银行存款等遗产问题时，建议继承人之间保持充分沟通，协商解决。
• 应严格遵守相关法律法规，确保遗产的合理、合法分配。如遇复杂法律问题或争议，建议及时向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。

总之，父亲去世后，母亲名下的银行存款是否算遗产，取决于这些存款是否属于母亲的个人财产以及是否存在特殊情况。在处理遗产问题时，应遵循相关法律法规，确保遗产的合理、合法分配。