针对员工打扫卫生时，有病人家属经过滑倒并要求赔偿的情况，处理建议如下：

1. 核实事实情况：

   • 首先，需要详细了解滑倒事件的具体经过，包括滑倒的时间、地点、原因（如地面是否湿滑、是否有警示标志等）以及病人家属的受伤情况。
   • 调查员工在打扫卫生时是否采取了必要的安全措施，如设置警示标志、清理地面水渍等。

2. 评估责任归属：

   • 根据《民法典》等相关法律法规，分析医院（或相关责任方）是否因未尽到安全保障义务而需承担责任。如果医院在打扫卫生期间未设置明显警示标志或未及时清理地面水渍，导致病人家属滑倒受伤，医院可能需承担一定责任。
   • 同时，也要考虑病人家属自身是否存在过错，如是否注意到了地面情况、是否采取了合理的避让措施等。如果病人家属自身存在疏忽大意，也可能需承担部分责任。

3. 协商赔偿事宜：

   • 在核实事实情况和评估责任归属后，可以与病人家属进行协商，就赔偿金额、赔偿方式等达成一致意见。
   • 协商过程中，应保持冷静、理性，尊重病人家属的合法权益，同时也要维护医院的合法权益。

4. 准备法律应对：

   • 如果协商不成，病人家属可能选择通过法律途径解决纠纷。此时，医院应做好法律应对准备，包括收集相关证据、准备答辩材料等。
   • 可以寻求专业律师的帮助，对案件进行全面分析，制定合适的诉讼策略。

5. 加强安全管理：

   • 无论最终责任如何划分，医院都应从中吸取教训，加强安全管理，防止类似事件再次发生。
   • 可以制定更加完善的安全管理制度和操作规程，加强员工培训和教育，提高员工的安全意识和应急处理能力。

在处理此类事件时，务必保持谨慎和理性，确保既维护了病人家属的合法权益，也维护了医院的合法权益。如有任何法律疑问或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。