当您的信用卡逾期，尝试向银行申请分期还款但遭到拒绝时，您可以考虑以下几个步骤来应对这一情况：

1. 多次沟通与协商： 首先，不要轻易放弃。您可以多次与银行进行沟通，详细说明您的实际困难和情况，包括收入减少、突发意外事件等导致无法按时还款的原因。银行在了解您的具体情况后，可能会重新考虑您的分期申请。

2. 提供困难证明材料： 如果可能，准备一些能够证明您经济困难的官方材料，如失业证明、医疗费用单据、收入减少证明等。这些材料有助于银行更全面地了解您的处境，并可能增加银行同意分期还款的可能性。

3. 考虑其他还款方式： 如果银行仍然不同意分期还款，您可以考虑其他还款方式，如最低还款额、账单分期（如果银行提供且您符合条件）或一次性还清部分欠款以降低后续还款压力。虽然这些方式可能不是最理想的，但它们能在一定程度上缓解您的还款压力。

4. 及时还款并消除不良记录： 无论银行是否同意分期还款，您都应尽快偿还逾期款项。还款后，您可以致电银行客服，协商是否可以延期还款或消除不良记录（尽管这通常取决于银行政策）。及时还款有助于维护您的信用记录，减少未来贷款或信用卡申请的难度。

5. 了解上门催收的风险： 虽然银行通常不会在逾期初期就采取上门催收措施，但如果逾期时间长且金额大，这种风险是存在的。因此，您应尽快采取行动解决还款问题，以避免不必要的麻烦。

6. 寻求专业帮助： 如果您觉得自己无法单独应对这一情况，可以考虑寻求法律顾问或专业债务管理机构的帮助。他们可以提供更具体的建议和解决方案，帮助您更好地处理信用卡逾期问题。

7. 规划未来财务： 在解决当前逾期问题的同时，您还应规划好未来的财务状况。制定合理的预算计划，确保能够按时偿还未来的信用卡账单或其他贷款，避免再次陷入逾期困境。

总之，面对信用卡逾期且银行不同意分期还款的情况，您应保持冷静并积极采取行动。通过多次沟通、提供困难证明材料、考虑其他还款方式、及时还款并消除不良记录、了解上门催收的风险、寻求专业帮助以及规划未来财务等步骤，您可以逐步解决这一问题并恢复良好的信用记录。