针对烧烤店给未成年卖酒的行为，我国法律有明确的处罚规定。以下是对此类行为可能面临的处罚的详细解答：

一、法律依据

根据《中华人民共和国未成年人保护法》的相关规定，特别是第五十九条第一款，明确禁止向未成年人销售烟、酒、彩票或者兑付彩票奖金。同时，烟、酒和彩票经营者应当在显著位置设置不向未成年人销售烟、酒或者彩票的标志；对难以判明是否是未成年人的，应当要求其出示身份证件。

二、处罚措施

1. 警告与罚款：

   • 如果烧烤店违反了上述规定，向未成年人销售了酒类，那么市场监管部门将依据《中华人民共和国未成年人保护法》第一百二十三条的规定，对烧烤店进行处罚。
   • 处罚措施包括：责令限期改正，给予警告，并没收违法所得。此外，还可以并处五万元以下的罚款。

2. 停业整顿或吊销执照：

   • 如果烧烤店拒不改正违法行为，或者情节严重，那么市场监管部门还可以进一步采取更严厉的处罚措施，如责令停业整顿或者吊销营业执照、吊销相关许可证。
   • 在这种情况下，烧烤店将面临更严重的法律后果，甚至可能失去继续经营的资格。

三、实际案例

以凤凰县星期八烧烤店为例，该店因向未成年人销售酒类被凤凰县市场监督管理局查处。经过调查取证，该店被确认存在向未成年人销售酒类的违法行为，并最终被处以相应的行政处罚。

另外，广安市前锋区市场监管局也开出过向未成年人售酒的罚单，对某餐饮店进行了警告和罚款的处罚。这些案例都表明，我国法律对向未成年人销售酒类的行为是严格禁止的，并会依法进行查处。

四、建议与提醒

为了避免类似的法律纠纷和处罚，烧烤店等经营者应当：

• 在经营场所显著位置设置不向未成年人销售酒类的标志；
• 对难以判明是否为未成年人的顾客，要求其出示身份证件；
• 切实增强法律意识，依法开展经营活动；
• 主动承担起保护未成年人健康成长的社会责任。

综上所述，烧烤店给未成年卖酒是违法行为，将面临法律的严厉处罚。经营者应当严格遵守相关法律法规，确保不向未成年人销售酒类。