合法解除员工劳动关系是一个涉及多个法律条款和程序的过程，主要分为劳动者主动解除和用人单位主动解除两大类。以下是对这两类解除情形的详细解答：
一、劳动者主动解除劳动关系
协商一致：
- 劳动者与用人单位可以协商一致解除劳动合同，双方需签订书面的解除协议，并明确解除时间、经济补偿等事项。
提前通知解除：
- 劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位（在试用期内则提前三日通知），到期后即可解除劳动关系。
用人单位存在法定过错时解除：
- 若用人单位存在未按约定提供劳动保护、未及时足额支付劳动报酬等法定过错情形，劳动者有权随时解除劳动合同，并可以要求经济补偿。
二、用人单位主动解除劳动关系
协商一致：
- 用人单位与劳动者协商一致后，可以解除劳动合同，并需支付经济补偿。经济补偿的标准通常按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资。
劳动者存在法定过错时解除：
- 若劳动者存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊给单位造成重大损害等法定过错情形，用人单位有权随时解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
因客观原因解除：
- 因劳动者患病或非因工负伤等客观原因，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作时，用人单位可以提前三十日书面通知劳动者或额外支付一个月工资后，解除劳动合同，并支付经济补偿。
经济性裁员：
- 用人单位因生产经营发生严重困难等法定情形，需要裁减人员时，需提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，可以裁减人员，并支付经济补偿。
三、解除劳动关系的赔偿问题
协商解除的赔偿：
- 如是用人单位提出协商解除，并达成一致，用人单位需按劳动者在本单位工作的年限支付经济补偿。
- 如是劳动者提出协商解除，并达成一致，用人单位则无需支付经济补偿。
因病解除的赔偿：
- 在医疗期内违法解除，用人单位需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
- 医疗期满后解除，用人单位需按经济补偿标准支付经济补偿金。
法定情形解除的赔偿：
- 劳动者存在严重违纪等法定过错情形时，用人单位解除劳动关系无需支付赔偿。
- 因劳动者不能胜任工作等非过错情形解除时，用人单位需支付经济补偿。
在解除劳动关系的过程中，用人单位应遵循法定程序，出具解除劳动合同的证明，并办理相关手续。同时，双方应遵循平等、自愿、合法的原则，就补偿等相关事项达成明确的书面协议，以避免后续纠纷。