私生子在法律上享有与婚生子女同等的继承权，无论是通过遗嘱还是法定继承，均可以继承财产。以下是对这一结论的详细解释：

1. 法律依据与平等保护：

   • 《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条明确规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，包括继承权，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。
   • 在法定继承中，《民法典》第一千一百二十七条将非婚生子女列为第一顺序继承人，与婚生子女、配偶、父母等共同继承遗产。

2. 法定继承：

   • 在没有遗嘱的情况下，非婚生子女作为第一顺序继承人，与其他继承人共同平等分割被继承人的遗产。
   • 如果被继承人没有第一顺序继承人，则由第二顺序继承人继承，但这一情况与非婚生子女的继承权无直接关系。

3. 遗嘱继承：

   • 如果被继承人立有遗嘱，并且在遗嘱中明确指定了非婚生子女的继承份额，那么非婚生子女有权按照遗嘱的内容继承相应财产。
   • 遗嘱必须合法有效，且不得违反法律对遗嘱形式和内容的规定。如果遗嘱中未提及非婚生子女，且遗嘱合法有效，遗产将按照遗嘱的分配方式进行，此时非婚生子女可能无法直接依据遗嘱获得遗产，但仍享有法定继承权。

4. 实际案例与司法实践：

   • 在司法实践中，法院会严格遵循法律规定，保护非婚生子女的继承权益。无论是通过法定继承还是遗嘱继承，非婚生子女都有权获得其应得的遗产份额。

综上所述，私生子（即非婚生子女）在法律上明确享有继承权，他们的合法权益应得到充分的尊重和维护。无论是在法定继承还是遗嘱继承中，非婚生子女都应与婚生子女享有同等的地位和权利。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。