结论前置：私生子（非婚生子女）的继承权并不大于遗嘱，其继承权在法律上与婚生子女平等，但具体能否继承遗产以及继承的份额，需根据遗嘱的有效性及内容来确定。
详细分析：
遗嘱有效且明确指定非婚生子女继承的情况：
- 若遗嘱中明确指定了非婚生子女为继承人，那么非婚生子女有权按照遗嘱的条款继承相应的遗产。这种情况下，遗嘱的效力优先，非婚生子女的继承权得到了遗嘱人的明确确认。
遗嘱有效但未指定非婚生子女继承的情况：
- 若遗嘱已对财产进行了明确处分，且未涉及非婚生子女，由于遗嘱继承的效力优先于法定继承，非婚生子女在此情况下一般不能依据法定继承来继承财产。但这并不意味着他们被剥夺了继承权，只是在有有效遗嘱且未包含他们的情况下，需尊重遗嘱人的最后真实意愿。不过，如果非婚生子女能够证明遗嘱人立遗嘱时存在欺诈、胁迫等情形，导致遗嘱并非遗嘱人真实意思表示，那么该遗嘱可能被撤销或认定无效，此时非婚生子女则有权依据法定继承参与遗产分配。
遗嘱无效或部分无效的情况：
- 遗嘱全部无效：若遗嘱因违反法律强制性规定、形式要件缺失等原因被认定全部无效，那么遗产将按照法定继承来处理。此时，非婚生子女作为第一顺序法定继承人，与婚生子女享有平等的继承权，有权参与遗产分配。
- 遗嘱部分无效：若遗嘱只是部分内容无效，比如遗嘱中处分了不属于遗嘱人自己的财产，或者遗嘱内容违反了公序良俗等，那么无效部分所涉及的遗产将按照法定继承办理。对于这部分遗产，非婚生子女有权参与继承；而遗嘱的有效部分仍应按照遗嘱进行继承。
法律背景与建议：
- 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条的规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。这一条款从根本上确立了非婚生子女在法律地位上的平等性，为继承权的行使提供了坚实的法律基础。
- 建议：在处理涉及非婚生子女继承权的问题时，应充分考虑遗嘱的有效性及其内容。如果遗嘱存在争议或可能无效的情形，建议及时咨询专业律师，以确保非婚生子女的合法权益得到妥善保护。同时，非婚生子女也应积极收集证据，如出生证明、亲子鉴定报告等，以证明与被继承人的血缘关系，从而更好地维护自己的继承权。
可能法律后果：
- 如果非婚生子女未能及时主张自己的继承权，或者因证据不足而无法证明与被继承人的血缘关系，那么他们可能会失去继承遗产的机会。因此，非婚生子女在面临继承问题时，应积极行动，及时咨询律师并收集相关证据。