物业通常没有权利擅自把园区的大树挪走。以下是对这一结论的详细解释：

1. 业主共有权利：

   • 园区的大树往往属于小区公共绿化的一部分，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，小区公共部分通常属于业主共有。因此，对大树的处置应涉及全体业主的共同意愿。

2. 物业职责与权限：

   • 物业的职责主要是根据物业服务合同，为业主提供建筑物及其附属设施的维修养护、环境卫生和相关秩序的管理维护等服务。这并不意味着物业有权随意处置小区内的公共财产，包括大树。
   • 物业在未经业主大会或业主委员会授权的情况下，通常无权擅自决定大树的去留。

3. 法律后果：

   • 如果物业擅自挪走大树，可能构成对业主共有权利的侵犯，业主有权要求物业恢复原状、赔偿损失或承担其他相应的法律责任。

4. 例外情况：

   • 当然，也存在一些特殊情况。例如，如果大树存在安全隐患，可能危及小区居民的人身或财产安全，且物业已经按照相关规定履行了报告和告知义务，但业主大会或业主委员会未能及时作出决定，那么物业在紧急情况下可能会采取必要的措施，包括挪走大树，以消除安全隐患。但这种情况下，物业也应尽可能保留相关证据，以证明其行为的合理性和必要性。

综上所述，物业通常没有权利擅自把园区的大树挪走。如果物业有此类行为或计划，业主有权进行询问、监督并要求物业提供合理的解释和依据。如有必要，业主还可以向相关部门投诉或寻求法律途径来维护自己的合法权益。