关于九级伤残雇主和肇事方各承担什么责任的问题，我们可以从以下几个方面来详细分析：
结论前置
在九级伤残的情况下，雇主和肇事方的责任承担需根据具体情况而定。一般来说，如果是工伤事故，雇主需承担工伤保险责任；如果是第三方侵权导致的伤害，肇事方需承担侵权赔偿责任。两者可能同时存在，也可能单独存在。
雇主责任
工伤保险责任：
- 如果员工是在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害导致九级伤残，那么该伤害通常会被认定为工伤。
- 雇主应当为员工参加工伤保险，员工因工伤残后，可以依法享受工伤保险待遇，包括医疗费、康复费、住院伙食补助费、交通费、食宿费、康复治疗费等，以及一次性伤残补助金、伤残津贴等。
- 如果雇主未参加工伤保险，那么雇主需按照工伤保险待遇的标准，自行承担员工的工伤赔偿费用。
用人单位责任：
- 除了工伤保险责任外，雇主作为用人单位，还可能因未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等而承担一定的过错责任。
- 如果雇主存在上述过错，导致员工发生工伤事故并造成九级伤残，那么雇主需承担相应的赔偿责任。
肇事方责任
- 侵权赔偿责任：
- 如果员工的九级伤残是由第三方（如肇事方）的侵权行为导致的，那么肇事方需承担侵权赔偿责任。
- 肇事方需赔偿员工因伤害造成的医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费、残疾赔偿金、残疾辅助器具费、被扶养人生活费，以及因康复护理、继续治疗实际发生的必要的康复费、护理费、后续治疗费等。
- 如果肇事方的行为构成犯罪，那么肇事方还需承担刑事责任。
特殊情况
- 在某些情况下，雇主和肇事方可能同时承担责任。例如，员工在工作期间被第三方车辆撞伤导致九级伤残，此时雇主需承担工伤保险责任，而肇事方则需承担侵权赔偿责任。
- 如果员工因自身原因（如自杀、自残）导致九级伤残，且该行为与工作无关，那么雇主通常无需承担责任。但如果是因工作压力、工作环境等因素导致的精神问题进而引发的自残行为，雇主可能需承担一定的责任。
综上所述，九级伤残雇主和肇事方各承担什么责任需根据具体情况而定。如果是工伤事故，雇主需承担工伤保险责任；如果是第三方侵权导致的伤害，肇事方需承担侵权赔偿责任。两者可能同时存在，也可能单独存在。在具体案件中，应根据事故发生的经过、原因、责任主体等因素来综合判断。如果您有进一步的问题或需要具体的法律帮助，请直接向我咨询。