当夫妻双方存在共同债务，而其中一方去世时，债务的处理主要依据债务的性质以及遗产的分配情况。以下是详细分析：

核心结论

1. 夫妻共同债务：若债务为夫妻共同债务，即夫妻双方共同签名或一方事后追认等共同意思表示所负的债务，以及一方在婚姻关系存续期间以个人名义为家庭日常生活需要所负的债务，生存一方需承担连带清偿责任。
2. 个人债务：若债务为去世一方的个人债务，即其在婚姻关系存续期间以个人名义超出家庭日常生活需要所负的债务，且债权人不能证明该债务用于夫妻共同生活、共同生产经营或基于夫妻双方共同意思表示，则这部分债务由去世一方的遗产进行清偿。继承人以所得遗产实际价值为限清偿债务，超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。

法律依据

• 《中华人民共和国民法典》第一千零六十四条：明确了夫妻共同债务的定义，包括双方共同签名或一方事后追认的债务，以及一方为家庭日常生活需要所负的债务。
• 《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条：规定了继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人债务的原则。

处理建议

1. 明确债务性质：首先需确定债务是夫妻共同债务还是个人债务，这直接关系到债务的承担方式。
2. 协商或诉讼：若债务性质明确，生存一方或继承人可与债权人协商债务清偿事宜。若协商不成，可通过诉讼方式解决争议。
3. 保留证据：在处理债务过程中，应保留好相关证据，如债务凭证、遗产清单等，以便在必要时维护自身权益。

综上所述，夫妻双方共同的债务在一方去世后，需根据债务性质及遗产分配情况来确定债务承担方式。若为夫妻共同债务，生存一方需承担连带清偿责任；若为个人债务，则由去世一方的遗产进行清偿。在处理过程中，应明确债务性质、协商或诉讼解决争议，并保留好相关证据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。