在离婚诉讼中，一方确实有权向法院申请进行亲子鉴定，但这需要遵循一定的条件和程序。

首先，明确结论：起诉离婚开庭时，原告可以向法院申请被告做亲子鉴定，但需提供必要证据支持其主张，并经过法院的审查和批准。

法律依据：

• 根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十三条，对亲子关系有异议且有正当理由的，可以向人民法院提起诉讼，请求确认或否认亲子关系。
• 《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》也提供了关于亲子鉴定申请和拒绝鉴定的法律后果的相关规定。

启动条件与程序：

1. 必要证据：原告需要向法院提供必要的证据，以支持其对亲子关系的异议。这些证据可以包括血型不符、配偶存在不正当关系等线索，不能仅凭无端猜测。
2. 书面申请：在离婚诉讼过程中，原告需向法院正式提出书面申请，明确阐述要求进行亲子鉴定的理由和依据。
3. 法院审查：法院将对原告的申请进行审查，评估其合理性和必要性。如果法院认为亲子鉴定是解决争议的必要手段，将会批准该申请。
4. 鉴定机构选择：法院将指定具有资质和专业能力的鉴定机构来进行亲子鉴定。
5. 样本采集与鉴定：按照相关规定和程序，采集生物样本并进行专业鉴定分析。

费用与法律效力：

• 亲子鉴定的费用通常由提出鉴定的一方承担。
• 具有法律资质的鉴定机构作出的鉴定结果具有法律效力，可以作为认定亲子关系的证据。如果双方同意并共同参与鉴定，那么该鉴定结果更具法律效力。

可能面临的问题及应对策略：

1. 对方拒绝配合：如果被告拒绝配合亲子鉴定，法院可能会根据现有证据作出对被告不利的推定。
2. 鉴定结果影响：亲子鉴定结果对财产分割、抚养权归属等具有重大影响。如果鉴定结果显示原告与被告之间的子女非亲生，那么这将对案件的判决产生深远影响。

总之，在离婚诉讼中申请亲子鉴定是一个严肃而复杂的过程，需要遵循严格的法律程序和规定。如果您有这方面的需求或疑问，建议咨询专业律师以获取更详细的法律建议和指导。