一般情况下，省公司和分公司之间并不承担连带责任。分公司作为省公司的分支机构，在业务、资金、人事等方面受省公司管理和控制，但不具有独立法人资格。当分公司对外产生债务等责任时，首先应以分公司管理的财产承担，分公司财产不足以清偿的，由省公司承担补充清偿责任。
不过，也有一些特殊情形需要注意：
人格混同：如果第三人有证据证明分公司与省公司人格混同，如业务、财务、人员等方面高度混同，此时省公司可能要对分公司债务承担连带责任。
明确表示承担连带责任：在和他人签订合同等交易中，要是分公司明确以自己名义表示承担连带责任，那它必须担责。例如分公司为其他企业的债务提供担保，明确表示承担连带责任，当对方无法偿债时，分公司就得履行承诺。
滥用分公司法人独立地位：若省公司滥用分公司法人独立地位和股东有限责任，逃避债务，严重损害债权人利益，债权人有权要求省公司和分公司对债务承担连带责任。
因此，在判断省公司和分公司是否承担连带责任时，需要根据具体情况和相关法律证据来判定。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。