刑事案件中，检察院当庭提出抗诉后，法院会根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定进行处理。具体来说：

1. 对未发生法律效力的判决或裁定：

   • 同级人民检察院在抗诉期限内向上级人民法院提出抗诉后，接受抗诉的人民法院会组成合议庭重新审理案件。

2. 法院对抗诉案件的处理：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百三十六条的规定，法院经过审理后，会按照下列情形分别处理：
     1. 原判决认定事实和适用法律正确、量刑适当的：法院会裁定驳回抗诉，维持原判。
     2. 原判决认定事实没有错误，但适用法律有错误，或者量刑不当的：法院会进行改判。
     3. 原判决事实不清楚或者证据不足的：法院可以在查清事实后改判；也可以裁定撤销原判，发回原审人民法院重新审判。

3. 对重新审判后判决的处理：

   • 原审人民法院对于发回重新审判的案件作出判决后，如果被告人提出上诉或者人民检察院提出抗诉，第二审人民法院应当依法作出判决或者裁定，此时不得再发回原审人民法院重新审判。

综上所述，刑事案件中检察院当庭提出抗诉后，法院会依据法律规定，根据案件的具体情况和抗诉理由进行细致审理，并作出公正裁决。如有进一步需要，您可以继续咨询我。