农田交换在法律上是允许的，但必须符合一定的条件和程序。

首先，根据相关法律法规，承包方之间为方便耕种或者各自需要，可以对属于同一集体经济组织的土地的土地承包经营权进行互换。这种互换行为应当向发包方备案，并且双方对互换土地原享有的承包权利和承担的义务也相应互换。这意味着，一旦土地互换完成，双方就应当按照互换后的土地权益来履行各自的义务和享受权利。

然而，在实际操作中，农田交换可能会遇到一些问题，比如您提到的没有书面协议或未去村里登记备案的情况。这可能会影响土地权益的确认和征地补偿款的分配。在这种情况下，如果双方对互换土地的事实没有争议，且互换后土地对方仍占有使用，那么您可以通过诉讼的途径确认土地置换的事实，然后依法取得相应的补偿款。

为了避免类似的纠纷，建议在农田交换时，双方应当签订书面协议，并明确互换土地的具体位置、面积、权益等关键信息。同时，也应当及时向发包方备案，以确保土地权益的合法性和有效性。

总的来说，农田交换是允许的，但必须遵守相关法律法规和程序。如果遇到纠纷或问题，建议及时咨询专业律师或相关机构，以维护自己的合法权益。