面对交通事故后伤者医院检查无大碍却坚持住院的情况，您可以采取以下步骤来妥善处理：

一、保留关键证据

首要任务是妥善保管医院出具的所有检查报告、诊断证明、影像资料等关键证据。这些证据将用于证明伤者的实际健康状况，以及是否存在过度医疗或不合理住院的情况。

二、与医院沟通

若对伤者住院的必要性存在疑问，可以向医院了解情况，要求医生出具是否需要继续住院的医学意见。通过专业医生的评估，可以更加客观地了解伤者的健康状况和住院需求。

三、与伤者及其家属沟通

在赔偿方面，您应明确表示只承担合理费用，并尝试与伤者及其家属进行沟通，协商处理赔偿事宜。可以向他们解释过度医疗和不合理住院可能带来的额外费用，并建议他们考虑实际情况，合理提出赔偿要求。

四、拒绝不合理费用

对于伤者提出的过度医疗或不合理住院产生的费用，您有权拒绝承担。若协商不成，伤者或其家属坚持要求您承担不合理费用，您可以明确拒绝，并告知他们可以通过法律途径解决争议。

五、报警并寻求法律帮助

如果情况复杂或协商无果，建议您及时报警并寻求法律帮助。警方可以介入调解，形成相应的出警记录，为您提供有利的法律证据。同时，您也可以咨询专业律师，了解您的法律权益和应对策略。

六、积极应诉

若伤者最终选择起诉，您应积极应诉，向法院提供证据，证明伤者存在过度医疗或不合理住院的行为。法院将根据证据进行公正裁判，确定赔偿范围和金额。

总之，面对此类情况，您应保持冷静，通过合法途径维护自己的权益。同时，也要尽量理解伤者的担忧和诉求，寻求双方都能接受的解决方案。