当父亲将他的一半财产给儿子时，我们首先要明确这是否是通过遗嘱或法律文件进行的正式财产分配。接下来，我们分析母亲是否仍然享有继承权。
核心分析：
财产分配的性质：
- 如果父亲是通过遗嘱明确将一半财产给儿子，那么这部分财产将按照遗嘱执行。
- 如果没有遗嘱，但父亲在生前以其他方式（如赠与）将财产转移给儿子，这也会影响后续的继承权问题。
母亲的继承权：
- 在法定继承中，配偶（即母亲）、子女、父母为第一顺序继承人。如果父亲去世时未立遗嘱或遗赠扶养协议，那么母亲和子女都有权继承父亲遗留的财产。
- 如果父亲通过遗嘱将一半财产给儿子，且遗嘱中未提及母亲的其他财产分配，那么母亲仍然有权继承剩余财产的一部分，具体份额取决于其他法定继承人的情况。
- 如果父亲生前已经将财产以赠与的方式给了儿子，并且这部分财产已经完成了法律上的转移手续，那么这部分财产就不再属于父亲的遗产，母亲对这部分财产没有继承权。
特殊情况：
- 如果存在特殊的家庭情况，如子女中有生活特殊困难且缺乏劳动能力的人，或者有人对被继承人尽了主要扶养义务等，这些因素都可能影响遗产的分配份额。
结论：
- 如果父亲没有立遗嘱或通过其他法律文件将财产正式转移给儿子，那么在父亲去世后，母亲作为第一顺序继承人之一，有权继承父亲的一半财产（假设这部分财产是夫妻共同财产中父亲的部分）。
- 如果父亲通过遗嘱将一半财产给儿子，且遗嘱内容合法有效，那么母亲将按照遗嘱执行后的剩余财产进行继承。
- 如果父亲生前已经将财产赠与儿子，并且完成了法律转移手续，那么母亲对这部分财产没有继承权。
因此，要确定母亲是否还有继承权以及继承的份额，需要具体了解财产分配的方式、是否存在遗嘱以及家庭的具体情况等因素。在涉及财产继承的问题时，建议咨询专业的法律人士以获取准确的法律意见。