私生孩子，即非婚生子女，在现代法律体系中享有与婚生子女同等的财产继承权。这一权利的赋予和确认是基于法律的明确规定和对平等原则的保护。以下是对私生孩子财产继承权如何通过的详细解答：

一、法律依据

1. 《中华人民共和国民法典》的规定：
   • 《民法典》第一千零七十一条明确指出：“非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。”这为非婚生子女的法律地位提供了明确的基础。
   • 同时，《民法典》第一千一百二十七条将“子女”列为法定继承人的第一顺序，并明确指出这里的“子女”包括非婚生子女，从而直接赋予了非婚生子女财产继承权。

二、法律地位的平等性

• 非婚生子女在继承法上与婚生子女具有完全相同的权利和义务。他们都有权依法继承父母的遗产，且在没有特殊情况下，继承份额是相等的。
• 法律强调了对非婚生子女的平等保护，禁止任何形式的歧视或剥夺其继承权的行为。这意味着，无论子女的出生方式如何，他们都应享有同等的法律地位和权利。

三、继承权的实现

1. 亲子关系证明：

   • 为了实现继承权，非婚生子女通常需要提供与被继承人之间的亲子关系证明。这可以通过DNA鉴定、出生证明、户籍记录等多种方式来完成。
   • 一旦亲子关系得到法律确认，非婚生子女就有权按照法律规定的程序和份额参与遗产的分配。

2. 继承程序：

   • 在遗产分配时，非婚生子女与婚生子女一样，按照法定继承的顺序和份额进行继承。
   • 如果被继承人立有遗嘱，且遗嘱内容合法有效，那么非婚生子女也可以按照遗嘱的内容继承遗产。遗嘱继承是优于法定继承的，但遗嘱必须是被继承人的真实意思表示，且符合法律的规定。

四、特殊情况的处理

• 尽管非婚生子女享有继承权，但在某些特定情况下，这一权利可能会受到影响。例如，如果被继承人立有遗嘱且明确排除了非婚生子女的继承权，或者非婚生子女因严重违法行为导致继承权被依法剥夺。
• 这些特殊情况的处理体现了法律对公平和正义的追求，同时也保护了被继承人的自由意志和遗产分配的合理性。

综上所述，私生孩子（非婚生子女）的财产继承权是基于法律的明确规定和对平等原则的保护而实现的。他们与婚生子女享有同等的法律地位和权利，在继承遗产时按照法定程序进行，并提供相应的亲子关系证明。在实际操作中，应尊重和保护非婚生子女的继承权，确保他们能够依法享有应得的遗产份额。