学校和老师确实需要签协议，但具体签订的协议类型根据老师的编制和学校的性质有所不同。以下是对不同情况下学校和老师签订协议问题的详细分析：
公立学校有编制的教师：
- 这类教师与学校之间的关系主要受《事业单位人事管理条例》等人事法律法规的调整，他们通常签订的是聘用合同，而非标准的劳动合同。聘用合同明确了双方之间的聘用关系及各自的权利和义务。
公立学校无编制的教师（如代课老师、合同制教师）：
- 这类教师与学校之间建立的是标准的劳动关系。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，学校作为用人单位，应当与教师订立书面劳动合同，以明确工作内容、地点、时间、劳动报酬、社会保险等各项条款。
私立学校的教师：
- 私立学校与教师之间建立的是明确的劳动关系，因此必须签订劳动合同。合同内容同样涵盖工作内容、工作地点、劳动报酬、工作时间、休息休假、社会保险、福利待遇以及合同期限等关键条款。
综上所述，无论是公立学校还是私立学校，只要教师与学校之间建立了劳动关系，就应当签订相应的协议（聘用合同或劳动合同）以明确双方的权利和义务。这些协议不仅是双方权益的保障，也是解决可能发生的劳动纠纷的重要依据。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。