当失信被执行人的银行卡被冻结，而单位又需要发放工资时，可以采取以下几种合法且可行的解决方案来确保工资的正常发放，并妥善处理这一问题。

一、与执行法院沟通

首先，失信人员应积极与执行法院取得联系，详细说明工资对于维持基本生活、抚养子女、赡养老人的重要性。若法院审查认为情况合理，可能会采取以下措施：

1. 预留生活费：法院可能会允许预留一部分工资作为生活费用，这部分费用可以通过特定账户支取或发放现金。
2. 达成还款协议：失信人员可以与债权人协商，尝试达成还款协议，明确还款期限和金额。经法院认可后，法院可能会调整工资冻结措施，允许失信人员按协议履行义务并满足基本生活需求。
3. 设立专门账户：向法院申请设立一个专门账户用于接收工资，法院将监管该账户，扣除债务偿还部分后，剩余资金可用于生活开销。

在与法院沟通时，需保持诚恳态度，如实陈述经济状况和还款能力，并确保达成的任何协议以书面形式记录，严格履行。

二、与单位协商变更工资发放方式

如果与法院沟通后，工资卡仍然无法解冻，失信人员可以与单位协商变更工资发放方式：

1. 更换工资卡：如果失信人员有其他未被冻结的银行卡，可以与单位财务部门协商更换工资发放卡。更换后应及时通知法院，以便法院继续采取必要的执行措施。
2. 现金发放：在不违反单位财务制度和法律法规的前提下，可以与单位协商以现金形式领取工资。但这种方式需要确保不违反法院的执行规定，并且合理规划使用现金，优先保障基本生活需求。
3. 发放至他人账户：理论上，工资可以发放至他人账户，但这种方式风险较大，需要合法合规并得到法院的许可。否则，如被认定为恶意逃避执行，将面临法律处罚。

在与单位协商时，需要取得单位的理解和支持，并确保不违反相关规定。

三、解冻银行卡（如有可能）

如果失信人员有能力履行法院判决或债务，可以尽快履行，并向法院申请解除银行卡冻结。履行完毕后，法院将作出解除冻结的裁定。如果暂时无法履行全部债务，可以考虑向法院提供担保物（如房产、车辆等），申请暂缓执行或解除冻结。但需要注意的是，解冻银行卡需严格遵守法律法规，不得恶意逃避执行，且提供担保物时需确保其价值足以覆盖债务。

四、遵守法律法规与维护合法权益

在整个过程中，失信人员应严格遵守法律法规，积极配合法院的执行工作。如果认为执行行为存在错误或不符合法律规定，有权向负责执行的人民法院提出书面异议。同时，面对复杂的法律问题，建议咨询专业的律师或法律顾问，以更好地维护自身合法权益。

综上所述，失信被执行人在银行卡被冻结后，应通过合法途径积极解决问题，确保工资的正常发放和生活的基本保障。与执行法院沟通和与单位协商是两种主要解决方式，同时也可以考虑解冻银行卡或提供担保物。在整个过程中，需严格遵守法律法规，维护自身合法权益。