如遇到逾期后被发短信威胁联系紧急联系人的情况，首先应保持冷静，并明确这种威胁行为是不合法的。接下来，我将从法律角度为您详细分析并提供应对建议：

一. 法律分析

1. 威胁行为的违法性：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，发送威胁短信可能构成威胁他人人身安全的行为，是违法的。若情节严重，甚至可能触犯刑法中的相关规定。
2. 隐私权保护：根据《中华人民共和国民法典》的规定，自然人的个人信息受法律保护。未经个人同意，不得非法收集、使用、加工其个人信息。紧急联系人的信息属于个人隐私，未经允许不得擅自泄露或用于威胁。

二. 应对建议

1. 保留证据：建议保存所有与威胁短信相关的证据，包括短信内容、发送时间、发送人等，以便后续维权或报警时使用。
2. 报警处理：若威胁行为持续发生或情节严重，应立即向当地公安机关报案，让警方介入调查并处理。
3. 法律维权：若因威胁短信导致个人名誉受损或产生其他损失，可以考虑通过法律途径维权，要求发送者承担相应的法律责任。
4. 与贷款机构沟通：如果威胁短信与贷款逾期有关，建议主动与贷款机构沟通，说明逾期原因，并寻求解决方案。同时，也可以要求贷款机构对发送威胁短信的行为进行解释和道歉。

三. 预防措施

1. 加强个人信息保护：谨慎处理个人信息，避免将紧急联系人等敏感信息随意泄露。
2. 提高法律意识：了解相关法律法规，知道如何维护自己的合法权益。
3. 合理规划财务：避免过度借贷，确保能够按时还款，减少逾期风险。

我的观点：面对逾期后被发短信威胁的情况，我们应保持冷静，通过法律途径维护自己的合法权益。同时，也要加强个人信息保护意识，避免类似事件再次发生。如有进一步需要，您可以继续咨询我。