私生女自出生起就享有同样的继承权。这一结论是基于我国现行法律对于继承权的规定而得出的。

在我国，《民法典》明确规定了继承权的平等原则，即继承权男女平等，无论婚生子女还是非婚生子女（即私生女），都享有同等的继承权。这一原则确保了所有子女在继承父母遗产时的法律地位是平等的，不受其出生方式的影响。

具体来说，私生女作为非婚生子女，其继承权受到法律的保护，与婚生子女享有同样的继承份额和继承顺序。在父母去世且留有遗产的情况下，私生女有权按照法律规定参与遗产的分配，并享有相应的继承份额。

因此，可以明确地说，私生女自出生起就享有与婚生子女同样的继承权，这一权利是受到法律保护的，不容侵犯。如果在实际生活中遇到继承权被侵犯的情况，建议私生女及时寻求法律援助，维护自己的合法权益。