在对方先动手打人，你随后还手且双方都有受伤的情况下，行为的法律性质和责任承担需根据具体情况进行综合判断。以下是基于法律规定和律师见解的详细分析：
结论前置：
- 若你的还手行为符合正当防卫的构成要件，则无需承担法律责任。
- 若双方行为被认定为互殴，则需根据各自过错程度承担相应责任，包括民事赔偿、行政处罚甚至刑事责任。
法律性质判断：
正当防卫：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二十条，若你还手行为是为了制止正在进行的不法侵害，且未明显超过必要限度造成重大损害，则属于正当防卫，不负刑事责任。
- 例如，对方突然对你进行恶意攻击，你为了保护自己而进行了适度的回击，且回击程度与对方侵害程度相当，这种情况可能被认定为正当防卫。
互殴：
- 若你还手行为不是基于制止不法侵害的目的，而是出于报复、泄愤等互相攻击，则很可能被认定为互殴。
- 在互殴情况下，双方都存在侵害对方的故意，需承担相应责任。如对方先动手，你随后以更激烈方式主动回击，双方持续打斗，一般会被认定为互殴。
责任承担：
民事责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条，无论正当防卫还是互殴，只要给对方造成人身损害，都可能需承担民事赔偿责任。
- 互殴时，双方根据各自过错程度分担责任。例如，若一方过错程度为70%，则需承担对方损失70%的赔偿责任。
行政责任：
- 若双方行为违反《中华人民共和国治安管理处罚法》，公安机关可依据情节轻重对双方进行处罚，如拘留、罚款等。
刑事责任：
- 若双方伤情达轻伤及以上，根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，可能面临三年以下有期徒刑、拘役、管制等刑罚。重伤或特别严重情况则刑罚更重。
处理建议：
- 及时报警：发生冲突后，立即拨打110报警，让公安机关介入处理，并收集相关证据。
- 就医检查：无论伤势轻重，及时就医检查和治疗，并保留好相关医疗证据。
- 配合调查：如实陈述事情经过，不要隐瞒或提供虚假信息。
- 咨询律师：对警方处理结果不满意或认为受到不公正对待时，可咨询专业律师意见，了解合法权益和法律途径。
- 考虑和解：在双方愿意的情况下，可通过和解解决纠纷，和解需在律师协助下达成正式协议。
综上所述，面对此类情况，你应首先判断自己的行为是否属于正当防卫，并根据实际情况承担相应的法律责任。如有任何疑问或需要进一步法律帮助，请随时向我咨询。