烧烤店现杀活鸽子在特定情况下是违法的。具体分析如下：

1. 疫情期间的相关规定：

   • 在疫情防控期间，多地市场监管部门发布了相关通告，明确禁止在食品经营场所内饲养和宰杀活畜禽等动物，以及严禁采购经营未按规定进行检验检疫或检验检疫不合格或来源不明的畜禽肉及其制品。
   • 如某烧烤店因无法提供进货来源和检疫证明，被执法人员当场制止，并依据《中华人民共和国食品安全法》的相关规定进行了处罚。

2. 一般情况下的规定：

   • 即便在非疫情期间，如果烧烤店宰杀的活鸽子没有合法的进货来源和检疫证明，也是违反食品安全法律法规的。
   • 烧烤店作为食品经营者，有义务确保所经营的食品符合食品安全标准，包括来源合法、经过检验检疫等。

3. 法律后果：

   • 如果烧烤店违反相关规定，可能会面临罚款、停业整改等行政处罚。
   • 在严重情况下，如果构成犯罪，还可能会面临刑事责任。

综上所述，烧烤店现杀活鸽子是否违法，取决于具体情况。在疫情防控期间或未取得合法进货来源和检疫证明的情况下，该行为是违法的。因此，建议烧烤店在经营过程中严格遵守相关法律法规，确保食品的来源合法、安全。如果有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。