因路上油污而摔伤，责任的承担需要根据具体情况来判定。一般来说，谁的过错导致路面油污没有被妥善处理，谁就应该对摔倒受伤的人承担相应的法律责任。以下是几种可能的情况及对应的责任分析：
道路管理部门责任：
- 倘若道路管理部门（如市政部门）没有切实履行其应当承担的管理和维护职责，使得路面上的油污未能及时被清理干净，进而导致他人摔倒受伤，那么道路管理部门就应当承担侵权责任。例如，在市政道路上，市政部门未及时将油污清理掉，行人在经过时摔倒受伤，市政部门就需承担相应的责任。
特定商户或个人责任：
- 如果油污是由特定的商户或者个人的行为所引起的，比如餐馆把油污倾倒在路边却没有进行清理，最终导致他人摔倒，那么这个商户或者个人就应该承担侵权责任。在这种情况下，受害人可以直接向该商户或个人索赔。
双方协商与诉讼：
- 倘若双方对于责任的归属产生了争议，首先可以通过协商的方式来解决。协商不成时，可以向法院提起诉讼，通过法律途径来确定责任的归属和承担。法院将会根据证据和法律规定，判决责任方承担相应的赔偿责任。
综上所述，因路上油污摔伤，责任方可能包括道路管理部门、特定商户或个人等。具体责任归属需要根据实际情况和证据来判断。如果您遇到了类似的问题，建议及时收集证据（如现场照片、监控录像、医疗记录等），并咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。