针对您提出的“外国人刑事案件取保候审期间申请居留证出入境会调查什么”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，需要明确的是，取保候审期间，被取保候审人（包括外国人）的行动自由是受到一定限制的。根据中国的《刑事诉讼法》及相关规定，被取保候审的犯罪嫌疑人、被告人必须遵守一系列规定，其中就包括不得擅自离开所居住的市、县，以及不得擅自出境。
如果外国人在取保候审期间申请居留证或出入境，相关部门（如公安机关、出入境管理局等）会进行严格的审查。具体调查的内容可能包括但不限于以下几个方面：
案件情况：会详细审查该外国人涉及的刑事案件的性质、严重程度、进展情况等，以评估其是否适合继续取保候审以及是否有必要限制其出入境。
取保候审期间的表现：会考察被取保候审人在取保候审期间是否严格遵守了相关规定，如是否按时报到、是否遵守了不得离开居住地等限制条件。
出入境目的和计划：会详细询问外国人申请居留证或出入境的具体目的和计划，以判断其出入境是否必要、合理，并且与其刑事案件无直接关联。
社会关系和背景调查：可能会对该外国人的社会关系、背景等进行一定程度的调查，以评估其是否存在潜在的风险或威胁。
法律合规性：会检查该外国人是否满足居留证申请或出入境的法定条件，包括但不限于签证类型、有效期、停留时间等。
需要强调的是，取保候审期间申请居留证或出入境是一个复杂且敏感的过程。外国人必须严格遵守中国的法律法规和相关规定，并积极配合相关部门的调查工作。如果未经批准擅自出入境或违反其他相关规定，可能会面临严重的法律后果，包括但不限于取消取保候审、变更强制措施、罚款甚至驱逐出境等。
因此，建议外国人在取保候审期间如有居留证申请或出入境的需求，务必事先咨询专业的法律人士或相关机构，并严格按照法定程序进行申请和审批。