首先，如果伴侣出轨并逃跑，涉及到诉讼的问题可能主要集中在离婚诉讼、财产分割、子女抚养权以及可能的损害赔偿等方面。以下是对这些方面的详细处理建议：

1. 离婚诉讼：

   • 提起离婚：若你决定离婚，可以向法院提起离婚诉讼。在诉讼中，你需要提供证明夫妻感情确已破裂的证据，伴侣出轨可以作为感情破裂的一个理由。
   • 诉讼程序：离婚诉讼会经过立案、调解、开庭审理等阶段。在开庭审理时，你需要出庭陈述自己的诉求和理由，并提供相关证据。

2. 财产分割：

   • 财产清查：首先，要清查夫妻双方的共同财产，包括房产、车辆、存款、股票等。
   • 分割原则：财产分割应遵循公平原则，考虑双方的实际贡献、生活需要等因素。若伴侣出轨导致离婚，法院在分割财产时可能会对此有所考量，但并非绝对会影响分割比例。

3. 子女抚养权：

   • 抚养权归属：法院会根据子女的年龄、健康状况、父母的抚养能力和抚养条件等因素，综合判断子女抚养权的归属。
   • 抚养费支付：不直接抚养子女的一方需要支付抚养费，具体数额由双方协商或法院判决。

4. 损害赔偿：

   • 赔偿请求：在离婚诉讼中，若你因伴侣出轨导致离婚而遭受精神损害，可以向法院提出损害赔偿请求。
   • 赔偿标准：损害赔偿的数额会根据实际情况进行裁量，包括精神损害的程度、过错方的经济能力等因素。

在处理这些诉讼时，建议你收集并保留好所有相关证据，如出轨证据、财产证明、子女抚养相关证据等。同时，保持冷静和理性，寻求专业的法律帮助，以确保你的合法权益得到最大程度的保护。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。